선적분의 기본정리

선적분의 기본정리는 다음과 같다.

집합 $\mathbb {R} ^{n}$의 열린집합 $U$에서 정의된 벡터장 $F:U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$가 $\operatorname {grad} \varphi =F$인 일급함수 $\varphi :U\longrightarrow \mathbb {R}$가 존재하면 일급곡선 $X:[a,b]\longrightarrow U$를 따르는 선적분은

$\int _{X}F\cdot ds=\varphi (X(b))-\varphi (X(a))$

로 주어진다.

(증명) $\int _{X}F\cdot ds=\int _{a}^{b}\operatorname {grad} \varphi (X(t))\cdot X'(t)dt=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (X(t))dt=\varphi (X(b))-\varphi (X(a))$

선적분 기본정리의 역

벡터장 $F:U\longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$의 선적분값이 곡선 $C$의 출발점과 도착점에만 의존하면 $\operatorname {grad} \varphi =F$인 함수 $\varphi :\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$가 존재한다.

(증명) 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 출발점을 $P$, 도착점을 $Q$라고 하면 선적분값을 $P$, $Q$의 함수 $f(P,Q)$로 나타낼 수 있다. 한 점을 $A$라고 할 때, $\varphi (X):=f(A,X)$로 놓으면

$D_{i}\varphi (X)=\lim _{h\to 0}{\frac {\varphi (X+hE_{i})-\varphi (X)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(X,X+hE_{i})}{h}}$

인데, 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 $f(X,X+hE_{i})$는 점 $X$와 $X+hE_{i}$를 잇는 직선 $\ell$을 따라 선적분한 값이다. 직선 $\ell$을 $X+tE_{i}$로 매개화하면 직선의 속도벡터는 $E_{i}$이므로

$\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{\ell }F\cdot ds=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}F(X+tE_{i})\cdot E_{i}\,dt=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}f_{i}(X+tE_{i})dt=f_{i}(X)$

이다. 따라서 $\operatorname {grad} \varphi =F$이다.