선적분의 기본정리는 다음과 같다.
집합
의 열린집합
에서 정의된 벡터장
가
인 일급함수
가 존재하면 일급곡선
를 따르는 선적분은
![{\displaystyle \int _{X}F\cdot ds=\varphi (X(b))-\varphi (X(a))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7928c26a8e797789b37fa9f8a95b144b3914b8a)
로 주어진다.
(증명)
벡터장
의 선적분값이 곡선
의 출발점과 도착점에만 의존하면
인 함수
가 존재한다.
(증명) 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로 출발점을
, 도착점을
라고 하면 선적분값을
,
의 함수
로 나타낼 수 있다. 한 점을
라고 할 때,
로 놓으면
![{\displaystyle D_{i}\varphi (X)=\lim _{h\to 0}{\frac {\varphi (X+hE_{i})-\varphi (X)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {f(X,X+hE_{i})}{h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fbf79641b967e7e9534e144083f7dd02f9a833a)
인데, 선적분값이 곡선의 출발점과 도착점에만 의존하므로
는 점
와
를 잇는 직선
을 따라 선적분한 값이다. 직선
을
로 매개화하면 직선의 속도벡터는
이므로
![{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{\ell }F\cdot ds=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}F(X+tE_{i})\cdot E_{i}\,dt=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}f_{i}(X+tE_{i})dt=f_{i}(X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19f5282b5421691801c29707784dcd24ed6750c8)
이다. 따라서
이다.