사용자:Matpie/란다우 문제
란다우 문제(Landau's problems)는 1912년 국제 수학자 대회에서 에드문트 란다우가 제시한 소수에 관한 네 가지 기본 문제들이다. 네 가지 문제는 다음과 같다.
- 골드바흐의 추측: 2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 쓸 수 있는가?
- 쌍둥이 소수 추측: 가 소수인 소수 가 무한히 존재하는가?
- 르장드르의 추측: 연속하는 두 자연수의 제곱 사이에는 항상 소수가 존재하는가?
- 이 제곱수인 소수 가 무한히 존재하는가? 다시 말해, 꼴의 소수가 무한히 존재하는가?
2019년 12월 기준[update], 네 문제 모두 미해결 상태이다.
진행 상황[편집]
골드바흐의 추측[편집]
1937년에 이반 비노그라도프가 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 증명하였고, 2013년에 하랄드 헬프콧은 5보다 큰 모든 홀수에 대해 약한 추측이 성립함을 검증하였다. 약한 골드바흐의 추측은 '5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 표현할 수 있다'는 추측으로, 강한 골드바흐의 추측은 아직 증명되지 않았지만 약한 골드바흐의 추측을 함의한다.
1937년, 천징룬은 충분히 큰 에 대해서, 소수 와 소수 또는 반소수인 에 대해 가 성립한다는 천의 정리를 증명하였다.[1] 몽고메리(Montgomery)와 본(Vaughan)은 예외적인 수(두 소수의 합으로 표현할 수 없는 짝수)의 점근밀도가 0임을 증명하였다.[2] 핀츠(Pintz)는 충분히 큰 에 대해 예외적인 수들이 를 만족함을 증명하였다.[3]
2015년, 토모히로 야마다는 이상의 모든 짝수가 소수와 소수 또는 반소수의 합임을 증명하였다.
쌍둥이 소수 추측[편집]
장이탕[4]은 7천만 이하의 간격을 가진 소수쌍이 무한히 많음을 증명하였으며, 이 간격은 폴리매스 프로젝트의 공동 노력으로 246까지 향상되었다.[5] 일반화된 Elliott–Halberstam 추측에 의해 간격은 6까지 개선되었다.[6][7]
천징룬은 가 소수 또는 반소수인 소수 (Chen prime이라 부른다.)가 무한히 많음을 증명하였다.
르장드르의 추측[편집]
르장드르 추측은 소수 에 대해 다음 소수와의 간격이 보다 작음을 증명하면 해결된다. 이하의 수에 대해서는 르장드르 추측이 성립하며,[8] 근처에서 반례가 생기기 위해서는 평균 간격의 5천만 배정도가 필요하다. Matomäki는 다음 식에 대하여 최대 개의 예외적인 소수(간격이 보다 큰 소수)가 존재한다고 증명하였다.
잉햄(Ingham)은 충분히 큰 에 대해 과 사이에 항상 소수가 존재함을 증명하였다.[10]
관련 항목[편집]
각주[편집]
- ↑ A semiprime is a natural number that is the product of two prime factors.
- ↑ Montgomery, H. L.; Vaughan, R. C. (1975). “The exceptional set in Goldbach's problem” (PDF). 《Acta Arithmetica》 27: 353–370.
- ↑ Janos Pintz, A new explicit formula in the additive theory of primes with applications II. The exceptional set in Goldbach's problem, 2018 preprint
- ↑ Yitang Zhang, Bounded gaps between primes, Annals of Mathematics 179 (2014), pp. 1121–1174 from Volume 179 (2014), Issue 3
- ↑ D.H.J. Polymath (2014). “Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes”. 《Research in the Mathematical Sciences》 1: 12. arXiv:1407.4897. doi:10.1186/s40687-014-0012-7. MR 3373710.
- ↑ J. Maynard (2015), Small gaps between primes. Annals of Mathematics 181(1): 383-413.
- ↑ Alan Goldston, Daniel; Motohashi, Yoichi; Pintz, János; Yalçın Yıldırım, Cem (2006). “Small Gaps between Primes Exist”. 《Proceedings of the Japan Academy, Series A》 82 (4): 61–65. arXiv:math/0505300. doi:10.3792/pjaa.82.61.
- ↑ Jens Kruse Andersen, Maximal Prime Gaps.
- ↑ Kaisa Matomäki (2007). “Large differences between consecutive primes”. 《Quarterly Journal of Mathematics》 58: 489–518. doi:10.1093/qmath/ham021..
- ↑ Ingham, A. E. (1937). “On the difference between consecutive primes”. 《Quarterly Journal of Mathematics Oxford》 8 (1): 255–266. Bibcode:1937QJMat...8..255I. doi:10.1093/qmath/os-8.1.255.
[[분류:수학의 미해결 문제]] [[분류:소수에 관한 추측]]