사용자:허경윤/연습장

세 변의 길이를 아는 삼각형의 넓이를 구하는 공식[편집]

기존에 3변의 길이를 아는 삼각형에서 넓이를 구할 때 헤론의 공식 을 이용하면 구할 수 있다.

하지만 한개 이상의 변에 루트가 들어있을경우 계산에 번거로움이 있다. 그래서 변 길이에 루트가

있을경우 다른 방법으로 삼각형 넓이를 구하는법을 보이고자 한다.

먼저 2차원에 있는 세 변의 길이가 $a,b,c$ 인 삼각형 $ABC$ 가 있다.

이 삼각형을 3차원에 있다고 가정을 하고, 이때 서로서로가 수직인 임의의 $x,y,z$ 축을 그린 후 각 길이를 $p,q,r$ 이라고 가정한다.

여기서 공간에서 방향코사인^[1] 성질을 이용한 삼각형 넓이 유도 식 에서

이다. 따라서 가 성립한다.

여기서 피타고라스의 정리를 이용하여 $p,q,r$ 을 $a,b,c$ 에 관한 식으로 바꾸면

가 성립하며 이를 연립하면 이다.

이를 에 대입하여 정리하면

이다.

이라 하면

가 성립한다.

한개 이상의 변의 길이에 루트가 있었을때 헤론의 공식을 이용하여 구하기 어려웠던 삼각형 넓이를 이 식을 이용한다면 훨씬 계산이 짧아지고 쉬워진다. 많은 사람들이 보고 삼각형 넓이를 구하는데 용이하게 사용하였으면 한다.

작성자 : 허경윤 / e-mail : gentlelouis@gmail.com

↑ 임의의 벡터 $(a,b,c)$ 가 $x,y,z$ 축과 이루는 각을 α,β,γ라 할때 $(cos$ α, $cos$ β, $cos$ γ $)$ 를 방향코사인이라고 한다. 이때 $(cos$ α $)^{2}$ + $(cos$ β $)^{2}$ + $(cos$ γ $)^{2}=1$