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위대한 정리[편집]
위대한 정리(Great theorem)는 학생들이 실수하기 쉬운 내용의 방정식에 부여되는 이름이다.
위대한 정리란 x^2+y^2=xy(x,y는 실수)이다.
아직 정확하게 중학교개념을 잘 모르는 학생들이 흔히 범하는 오류로 x=1,y=1을 대입하더라도 위 정리가 틀렸다는 것을 알 수 있다.
예[편집]
- 1^2+1^2=2이고 1*1=1이므로 2는 1과 같을 수 없으므로 틀린 내용이다.
- 일반적으로 x^2+y^2과 xy는 같지 않다.
하지만 x=0,y=0을 대입하였을때 이를 만족한다.
그리고 x^2+y^2-xy=a^2(a는 실수)는 타원이 되는 데 이때 a=0일 경우에 (x,y)=(0,0)인 점 하나의 도형만이 되게 되어서 위대한 정리를 만족하는 실수해는 (0,0)뿐이다.(이에 대한 자세한 내용은 이차 형식 의 대각화 가능 행렬 참고)
확장[편집]
만약 위대한 정리가 성립한다고 가정하자.
이때 y=0을 대입한다면 x^2=0으로 임의의 실수 x에 대해서 제곱을 할 경우 0이 되므로 모든 실수는 0이 된다.
즉 이는 모든 실수가 같게 되므로 실수의 집합의 원소는 오직 0뿐이게 된다.
(이를 활용하면 원에서 무슨 현을 작도하더라도 그 현은 반드시 지름이 된다. 학생들이 kmo를 풀때 이러한 실수를 하는 경우가 많다.)
왜 이런 오류가 생기는 가?[편집]
예를 들어서 중학교 내용이 정확하지 않은 학생들이 피타고라스의 정리를 풀 때 이러한 착각이 일어나는 경우가 꽤 많다.
또한 산술기하평균 에서 이러한 실수를 하기 쉽다.
역사와 대체할 수 있는 이름[편집]
"위대한 정리"이라는 용어의 역사는 다소 불분명하다.
그러나 상당수의 사람들이 이 정리에 대해 생각하였고 그 결과 발전하여 지금의 위대한 정리라는 이름을 갖게 되었다.
때때로 위대한 정리는 Great theorem라고도 불리고 Perfect theorem이라고도 불리며 Sexy theorem이라고도 불린다.
같이 보기[편집]
참고문헌[편집]
- “Frobenius endomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Frobenius automorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Frobenius automorphism”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- “Frobenius morphism”. 《nLab》 (영어).
- Ben-Zvi, David. “The Frobenius page” (영어).
3학년의 꿈[편집]
3학년의 꿈이란 학생들이 실수하기 쉬운 내용의 방정식에 부여되는 이름이다.
3학년의 꿈은 root(x)+root(y)=root(xy)(이를 더 많이 실수하므로 일반적으로는 앞의 것을 의미한다.)또는 root(x)+root(y)=root(x+y)(x,y는 음의 실수가 아닌 실수이다)이다.
아직 정확하게 중학교개념을 잘 모르는 학생들이 흔히 범하는 오류로 x=1,y=1을 대입하더라도 위 정리가 틀렸다는 것을 알 수 있다.
예[편집]
- x=1,y=1을 대입한다면 root의 정의에 따라서 root(1)+root(1)=2이고 root(1*1)=1로 root(1)+root(1)=root(1*1)이 성립하지 않으므로 3학년의 꿈은 틀린 내용이란 것을 알수 있다.
- 물론 다른 경우의 3학년의 꿈과 같은 경우에도 같은 방식으로 틀렸다는 것을 알 수 있다.
일반적으로는 3학년의 꿈은 성립하지 않는다.
(root(x)+root(y)=root(x+y)같은 경우에는 x=0 또는 y=0일 경우 성립하게 되고 root(x)+root(y)=root(xy)인 경우에는 y=(x^2+2xroot(x)+x)/(x^2-2x+1)(x는 1보다 큰 실수)일 때 성립한다.)
확장[편집]
만약 3학년의 꿈이 성립한다고 가정하자.
그렇다면 y=0을 대입한다면 root(x)+root(0)=root(0)=root(0)이므로 root(x)=0이 되므로 임의의 음이 아닌 실수 x에 대해 root(x)=0이 성립하게 된다.
왜 이런 오류가 발생하는 가?[편집]
중학교 3학년에서는 제곱근이라는 새로운 수학개념을 배우게 된다.
그런데 제곱근의 연산과정은 우리가 평소에 하던 사칙연산과는 다른 연산체계를 가져서 아직 익숙하지 않은 사람들은 원래 연산체계를 적용하여서 이러한 오류를 흔히 범하게 된다.
(이러한 실수를 하는 사람을 적어도 어디에서나 한명 정도는 볼수 있다.)
역사와 대체할 수 있는 이름[편집]
"3학년의 꿈"이라는 용어의 역사는 다소 불분명하다.
그러나 이는 산술기하평균과 비슷하다는 것을 알 수 있다.
어느 사람이 이에 대한 자세한 내용을 서술하자 이는 발전하여 3학년의 꿈이라는 명칭을 얻을 수 있었다.
3학년의 꿈은 때때로 "루트의 꿈", "3학년의 위대한 정리"로도 알려져 있다.
같이 보기[편집]
- 1학년의 꿈 ( 3학년의 꿈은 1학년의 꿈이 아니다.)
참고문헌[편집]
- “Frobenius endomorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Frobenius automorphism”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
