부정 방정식(不定方程式)은 해의 개수가 무한히 많은 방정식으로, 예를 들어
는 부정 방정식이다.
디오판토스 방정식은 해가 정수인 경우에 대한 부정 방정식이다.
그 외에도, 일차 방정식
에서 상수
가 0이고 상수
가 0일 때
의 꼴로 정리된다. 이때, 임의의 실수
에 대해
이므로
는 '모든 실수'이다. 이를 부정이라고 한다.
연립방정식의 기준으로 보면, 부정 방정식(indeterminate equation)은 (미지수의 문자항 개수) > (방정식의 개수)이다.
![{\displaystyle x^{2}=0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcf5a6ce21f64d5503f4803607fb99181c17a195)
![{\displaystyle x^{2}=0\Leftrightarrow x=0\ (\because \ x=real\ number\ \mathbb {R} ,x^{2}=0\ or\ natural\ number\ \mathbb {N} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/531802997be1ea9ba16a0b9640c4ea69ab7e5d7d)
![{\displaystyle {x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}=0\Leftrightarrow x_{1}=0,x_{2}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb725a1fa0843dade5315a4fb45aefefa4b1b82)
, 이므로
일 때,
,
이다.
이것은
에 대한 완전제곱식(full square equation)의 해법이다.
또한, 판별식(D,discriminant)에 의한 해법은,
에 대해 2차방정식을 가정하면,
이고,
이므로,
이므로
이고,
대입(substitution)하면,
![{\displaystyle {x_{1}}^{2}+2x_{1}+1+4-8+4={x_{1}}^{2}+2x_{1}+1=(x_{1}+1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c619ab2d5f28e60ee98e1f286da3fab75761da32)
이다.