리 군론에서 보건 도표(Vogan圖表, 영어: Vogan diagram 보건 다이어그램[*])는 실수 반단순 리 대수에 대응되는 일종의 그래프이다.[1] 복소수 반단순 리 대수를 분류하는 딘킨 도표에 데이터를 추가한 것이다. 구체적으로, 일부 꼭짓점은 검게 칠해져 있으며, 일부 흰 꼭짓점의 쌍은 선으로 이어져 있다.
다음이 주어졌다고 하자.
- 실수 반단순 리 대수
. 그 복소화를
로 표기하자.
의 카르탕 대합
. 이에 따라 카르탕 분해
를 정의할 수 있다.
-안정 극대 콤팩트 카르탕 부분 대수
와 그 복소화 ![{\displaystyle {\mathfrak {h}}^{\mathbb {C} }\subseteq {\mathfrak {g}}^{\mathbb {C} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f85ded3c8857bd32af96e2452f7cfb8c87154519)
의 근계
속의, 양근의 선택
. 또한, 이에 정의되는 전순서 아래 항상
가
보다 먼저 등장한다고 하자.
그렇다면,
는
위에 작용하며, 이는 크기 1 또는 2의 궤도들을 정의한다. 이 경우,
- 허수 단순근들은 크기 1의 궤도를 갖는다 (
의 작용의 고정점이다).
의 선택에 따라 실수 단순근은 존재하지 않는다.
- 복소수 단순근들은 크기 2의 궤도를 갖는다.
이 데이터에 대응되는 보건 도표는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
의 딘킨 도표
. 이는
인 유한 그래프이며, 각 변에는 양의 정수 무게
가 주어져 있으며, 이 무게가 양수인 변에는 방향이 주어져 있다.
의,
에 대한 궤도들로의 분할. 흔히, 크기 2의 궤도의 경우 두 꼭짓점들을 선으로 이으며, 크기 1의 궤도는 따로 표시하지 않는다.
에 대한 크기 1의 궤도에 대하여, 콤팩트 근인지 여부. 흔히, 비콤팩트 근을 검게 칠하고, 콤팩트 근을 희게 칠한다.
추상적 보건 도표[편집]
추상적 보건 도표는 다음과 같은 데이터로 주어진다.
- 딘킨 도표
![{\displaystyle \Gamma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19)
위의,
작용
의 고정점 가운데, 특별한 부분 집합 (“검은 꼭짓점”).
모든 추상 보건 도표는 항상 실수 반단순 리 대수의 보건 도표로 실현될 수 있다.[1]:403, Theorem 6.88
서로 다른 보건 도표가 같은 실수 반단순 리 대수에 대응될 수 있으며, 이 경우 두 보건 도표가 서로 동치라고 하자. 임의의 보건 도표에 대하여, 이와 동치이며, 하나 이하의 검은 꼭짓점만을 갖는 보건 도표를 찾을 수 있다.[1]:409, Theorem 6.96
아무 꼭짓점이 칠해지지 않으며,
의 작용이 자명한 경우, 이에 대응되는 실수 반단순 리 대수는 콤팩트 형태이다.
딘킨 도표를 생각하자.
![{\displaystyle \underbrace {\circ -\circ -\dotsb -\circ } _{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/483ddf93217f676daee8971992fcdba3dd9cc454)
각 꼭짓점에 대하여, 이를 칠하면 얻어지는 실수 리 대수는 다음과 같다.
![{\displaystyle {\underset {{\mathfrak {su}}(1,n)}{\circ }}-{\underset {{\mathfrak {su}}(2,n-1)}{\circ }}-\dotsb -{\underset {{\mathfrak {su}}(n,1)}{\circ }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c8156c2b0a52897bac8ede712e79ccf8363127e)
마찬가지로,
에서,
가 자명하지 않게 작용한다고 하자.
![{\displaystyle ({\begin{matrix}\overbrace {\circ -\circ -\dotsb -\circ } ^{k}\\\underbrace {\circ -\circ -\dotsb -\circ } _{k}\\\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9565d2639e6dad7fd53039626cbaa5e6d2095fd2)
이는
에 대응한다.
미국의 수학자 데이비드 알렉산더 보건(영어: David Alexander Vogan, 1954~)이 도입하였다.