반감기

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지수함수적 붕괴반감기(半減期, half-life)란 어떤 양이 초기 값의 절반이 되는데 걸리는 시간이다. 원개념은 방사성 붕괴에서 기인한 것이나, 현재는 여러 다른 분야에서도 쓰이고 있다.

반감기
진행 횟수
잔여량 비율
(백분율)
0 100%
1 50%
2 25%
3 12.5%
4 6.25%
5 3.125%
6 1.5625%
7 0.78125%
... ...
N \frac{100\%}{2^N}
... ...

반감기(t1⁄2)는 어떠한 물질의 양이 초기값의 절반이 되는데 걸리는 시간이다. 이 용어는 불안정한 원자들이 얼마나 빠른 속도로 핵분열을 하는지를 설명하기 위하여 핵물리학에서 빈번히 사용되지만, 임의의 지수함수적 붕괴를 논하는데 더 일반적으로 사용된다. 오른쪽의 표로 반감기가 몇번 경과했는가에 따라 '어떤 양'이 어떻게 감소하는지 알 수 있다.

반감기의 확률적 특성[편집]

상자당 4 원자(좌측)이나 400 원자(우측)으로 시작하는, 방사성 붕괴가 진행 중인 수많은 동일한 원자들의 시뮬레이션. 상단에 있는 숫자는 거친 반감기 횟수를 의미한다. 큰 수의 법칙의 결과를 참고: 원자의 수가 많을수록, 전반적인 붕괴 양상이 더 규칙적이고 예측적이다.

지수함수적 붕괴의 대상이 되는 양은 일반적으로 N으로 나타낸다. (이는 붕괴하는 양을 나타내는 이산적임을 암시한다. 이 해석은 지수함수적 붕괴의 여러 경우에 유효하나, 모든 경우에 유효한 것은 아니다.) 양을 N으로 나타낼 때, 시간 t에서의 N의 값은 다음 수식으로 나타낸다.

지수함수적 붕괴의 반감기에 대한 식[편집]

지수함수적 붕괴는 소개된 3가지 동일한 공식 중 그 어떠한 것으로도 설명이 가능하다:

\begin{align}
  N(t) &= N_0 \left(\frac {1}{2}\right)^{\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}} \\
  N(t) &= N_0 e^{-\frac{t}{\tau}} \\
  N(t) &= N_0 e^{-\lambda t}
\end{align}

여기에서

  • N0 은 붕괴를 거칠 물질의 양의 초기값 (이 양은 그램, 몰수, 원자의 수 등으로 측정될 수 있다.),
  • N(t)은 시간 t 경과 후에 붕괴되지 않고 남아있는 물질의 양,
  • t1⁄2 은 붕괴 중인 양의 반감기,
  • \tau 은 붕괴 중인 물질의 평균 수명 시간,
  • \lambda은 붕괴 중인 물질의 붕괴 상수이다.

세 변수 t_\frac{1}{2}, \tau, 그리고 \lambda 는 주어진 식과 같은 관계를 가진다:

t_\frac{1}{2} = \frac{\ln (2)}{\lambda} = \tau \ln(2)

이 관계식을 적절히 조작함으로서, 반감기의 면에서 지수함수적 붕괴에 관해 동일한 설명을 얻는다. :

\begin{align}
  N(t) &= N_0 \left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_\frac{1}{2}} \\
  N(t) &= N_0 e^{-\frac{t}{\tau}} \\
  N(t) &= N_0 e^{-\lambda t}
\end{align}

식이 어떠하던 간에, 식을 적절히 조합하여 다음과 같은 정보를 얻을 수 있다:

  • N(0) = N_0("초기값"의 정의)
  • N\left(t_\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} N_0 (반감기의 정의)
  • \lim_{t\to \infty} N(t) = 0; t 가 무한으로 발산함에 따라 잔여량은 0에 수렴한다(많은 시간이 흐를수록, 작은 양이 남게 된다).


t=0일 때 지수함수 부분이 1이 되어 N(t)N_0와 같아진다. t무한히 커질 때, 지수함수 부분은 0에 가까워진다.

여기에서 다음과 같은 특정한 t_{1/2} \,가 존재하는데, :

N(t_{1/2}) = N_0\cdot\frac{1}{2}

이것을 위의 공식에 대입하면 :

N_0\cdot\frac{1}{2} = N_0 e^{-\lambda t_{1/2}} \,
e^{-\lambda t_{1/2}} = \frac{1}{2} \,
- \lambda t_{1/2} = \ln \frac{1}{2} = - \ln{2} \,
t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} \,

그러므로 반감기는 평균 수명의 약 69.3%가 된다.

각주[편집]