바우스필드 국소화

모형 범주 이론에서, 바우스필드 국소화(Bousfield局所化, 영어: Bousfield localization)는 주어진 모형 범주의 약한 동치 모임을 확장시키는 한 방법이다.

정의

모형 범주 $({\mathcal {C}},{\mathfrak {W}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}})$가 주어졌다고 하자. 또한, 3개 가운데 2개 성질을 만족시키는 사상 모임

${\mathfrak {W}}_{\text{loc}}\supseteq {\mathfrak {W}}$

이 존재한다고 하자. 그렇다면, ${\mathcal {C}}$의 ${\mathfrak {W}}_{\text{loc}}$에 대한 왼쪽 바우스필드 국소화(영어: left Bousfield localization)는 (만약 존재한다면) 다음과 같은 모형 범주 $({\mathcal {C}}_{\text{loc,left}},{\mathfrak {W}}_{\text{loc}},{\mathfrak {F}}_{\text{loc}},{\mathfrak {C}})$이다.

• ${\mathcal {C}}_{\text{loc,left}}$의 약한 동치 모임은 ${\mathfrak {W}}_{\text{loc}}$이다.
• ${\mathcal {C}}_{\text{loc,left}}$의 쌍대올뭉치 모임은 ${\mathfrak {C}}$이다. (즉, ${\mathcal {C}}$에서와 같다.)
• ${\mathcal {C}}_{\text{loc,left}}$의 올뭉치 모임 ${\mathfrak {F}}_{\text{loc}}\subseteq {\mathfrak {F}}$은 오른쪽 올림 성질로부터 결정된다. 즉, ${\mathfrak {F}}_{\text{loc}}=({\mathfrak {W}}_{\text{loc}}\cap {\mathfrak {C}}_{\text{loc}})^{\pitchfork }$이다.

이 경우, 비순환 쌍대올뭉치 모임은 증가하고, 따라서 올뭉치 모임은 감소하지만, 비순환 올뭉치 모임은 변하지 않는다.^{:58, Proposition 3.3.3}

$({\mathfrak {C}})^{\pitchfork }={\mathfrak {W}}\cap {\mathfrak {F}}={\mathfrak {W}}_{\text{loc}}\cap {\mathfrak {F}}_{\text{loc}}$

또한, 항등 함자 ${\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}_{\text{loc,left}}$는 퀼런 수반 함자를 이룬다. 즉, ${\mathcal {C}}_{\text{loc,left}}$는 퀼런 수반 모형 범주 쌍$({\mathcal {C}}_{\text{loc,left}},{\mathcal {C}})$의 왼쪽 성분이 된다.

마찬가지로, 오른쪽 바우스필드 국소화(영어: right Bousfield localization) $({\mathcal {C}}_{\text{loc,right}},{\mathfrak {W}}_{\text{loc}},{\mathfrak {F}},{\mathfrak {C}}_{\text{loc}})$는 올뭉치 모임을 그대로 두고, 쌍대올뭉치 모임을 바꾸는 것이다. 이 경우 마찬가지로

${\mathfrak {C}}_{\text{loc}}\subseteq {\mathfrak {C}}$

$^{\pitchfork }({\mathfrak {F}})={\mathfrak {W}}\cap {\mathfrak {C}}={\mathfrak {W}}_{\text{loc}}\cap {\mathfrak {C}}_{\text{loc}}$

가 된다. 또한, 항등 함자 ${\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}_{\text{loc,left}}$는 퀼런 수반 함자를 이룬다. 즉, ${\mathcal {C}}_{\text{loc,right}}$는 퀼런 수반 모형 범주 쌍 $({\mathcal {C}},{\mathcal {C}}_{\text{loc,right}})$의 오른쪽 성분이 된다.

국소 약한 동치

흔히, ${\mathfrak {W}}_{\text{loc}}$는 다음과 같이 어떤 사상 집합 $S$에 대한 국소 약한 사상(영어: local weak equivalence)으로 얻어진다. 왼쪽 바우스필드 국소화의 경우 다음과 같다. (오른쪽 바우스필드 국소화의 경우 그 쌍대화를 사용한다.)

${\mathcal {C}}$가 단체 집합의 범주 위의 풍성한 범주이며, 그 구조가 모형 범주 구조와 호환된다고 하자. 또한, 정의역이 쌍대올대상인 쌍대올뭉치 집합 $S$가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {C}}$ 속의 올대상 $X$가 다음 조건을 만족시킨다면, $C$-국소 올대상(영어: $C$-local fibrant object)이라고 한다.

• 모든 사상 $(f\in C)\colon A\hookrightarrow B$에 대하여, $f^{*}\colon \hom _{\mathcal {C}}(B,X)\to \hom _{\mathcal {C}}(A,X)$는 비순환 올뭉치를 이룬다. (즉, 약한 동치이며 칸 올뭉치이다.)

${\mathcal {C}}$ 속의 쌍대올뭉치 $f\colon A\hookrightarrow B$가 다음 조건을 만족시킨다면, $S$-국소 약한 동치(영어: $S$-local weak equivalence)라고 한다.

• 모든 $S$-국소 올대상 $X$에 대하여, $f^{*}\colon \hom _{\mathcal {C}}(B,X)\to \hom _{\mathcal {C}}(A,X)$는 비순환 올뭉치를 이룬다.

역사

올드리지 나이트 바우스필드(영어: Aldridge Knight Bousfield, IPA: [ɔːldɹɪdʒ naɪt baʊsfiːld])가 1979년에 스펙트럼을 다루기 위하여 도입하였다.

외부 링크

• “Bousfield localization”. 《nLab》 (영어). 
• “Bousfield localization of model categories”. 《nLab》 (영어). 
• “Bousfield localization of spectra”. 《nLab》 (영어). 
• “Bousfield localization of triangulated categories”. 《nLab》 (영어). 
• “Different definitions of Bousfield localization” (영어). Math Overflow.