뤼로스 상수

뤼로스상수 정의

뤼로스 상수(Lueroth 또는 Lüroth constant) $c$

$c=-\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over k}\ln {\left(1-{{1} \over {k}}\right)}\;\;\;$

$\;\;\;=-\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over k}\ln \left({{k-1} \over {k}}\right)\;\;\;$

$\;\;\;=-\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over k}\ln \left({{k} \over {k-1}}\right)^{-1}\;\;\;$

$\;\;\;=\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over k}\ln \left({{k} \over {k-1}}\right)\;\;\;$

$\;\;\;=0.7885305659...(OEISA085361)$

뤼로스 상수의 리만제타함수표현

뤼로스 상수 c 에 대한 시리즈(급수)는 무한대에 대한 가수를 확장하여 훨씬 더 나은 수렴 속성을 가진 시리즈로 변환 될 수있다.

$c=\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over k}\ln {{k} \over {k-1}}\;\;\;$

$\;\;\;=\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over 1}k^{-2}+{1 \over 2}k^{-3}+{1 \over 3}k^{-4}+{1 \over 4}k^{-5}+\cdots$

$\;\;\;=\sum _{k=2}^{\infty }{1 \over 1}{{1} \over {k^{2}}}+{1 \over 2}{{1} \over {k^{3}}}+{1 \over 3}{{1} \over {k^{4}}}+{1 \over 4}{{1} \over {k^{5}}}+\cdots$

$\;\;\;=\sum _{k=2}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{{1} \over {nk^{n+1}}}\;\;\;$

$\;\;\;=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{k=2}^{\infty }{{1} \over {nk^{n+1}}}\;\;\;$

$\;\;\;=\sum _{n=1}^{\infty }{{\zeta (n+1)-1} \over {n}}\;\;\;$

$\zeta$는 리만제타함수

알라디-그린스테드 상수

$e^{c-1}=\lim _{n\to \infty }\alpha (n)=0.8093940205....(OEISA085291)$

$e$는 극한값 e

$c$는 뤼로스 상수

$\alpha (n)$는 알라디-그린스테드 상수

같이 보기

• 수학 상수
• 킨친 상수
• 번분수

참고

• Alladi, K. and Grinstead, C. "On the Decomposition of n! into Prime Powers." J. Number Th. 9, 452-458, 1977
• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/Alladi-GrinsteadConstant.html
• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/LuerothsTheorem.html
• (매스월드)http://mathworld.wolfram.com/ConvergenceImprovement.html
• (OEIS)http://oeis.org/A085361 -(Khintchine's constant for Lüroth representation - Journal of Number Theory Volume 29, Issue 2, June 1988, Pages 196-205) (https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022314X88900996?via%3Dihub)
• (OEIS)http://oeis.org/A002210