로렌즈 방정식
동역학계 이론에서 로렌즈 방정식(Lorenz方程式, 영어: Lorenz equation)은 3차원 공간상에서 대기의 대류를 나타내는 간단한 비선형 동역학계이다. 이상한 끌개의 대표적인 예이다.
정의
[편집]로렌즈 방정식은 세 변수에 대한 1차 비선형 연립 상미분 방정식이며, 세 개의 매개변수 에 의존한다. 다음과 같다.
로렌즈의 원래 논문[1]에서 사용된 매개변수 값들은 다음과 같다.
이 값에서 로렌즈 방정식은 혼돈적인 성질을 보이며, 로렌즈 끌개라는 야릇한 끌개를 가진다.
성질
[편집]대칭
[편집]로렌즈 방정식은 다음과 같은 대칭을 가진다.
평형점과 불변 집합
[편집]이며 일 경우, 로렌즈 방정식의 평형점은 다음과 같이 세 개가 있다.
만약 이지만 일 경우, 마지막 하나의 평형점만이 존재한다.
로렌즈 방정식에서, z축 은 불변 집합이다. z축 위에서 로렌즈 방정식은
가 되므로, 이라면 이 경우 모든 초기 조건은 원점 으로 지수적으로 수렴한다.
분기
[편집]으로 고정시키고, 의 값을 변화시킨다면, 로렌즈 방정식은 다음과 같은 성질을 보인다.
- 일 경우, 원점은 유일한 안정적 평형점이다. 모든 궤도는 원점으로 수렴한다.
- 에서 갈퀴 분기가 일어나며, 원점은 세 개의 평형점으로 분기한다. 원점은 이제 불안정 평형점이 되지만, 나머지 두 평형점은 안정적이다. 일 경우 거의 모든 초기 조건은 두 안정적 평형점으로 수렴한다.
- 에서 호프 분기가 일어나며, 모든 평형점이 불안정해진다. 대신 두 개의 안정적인 극한 주기 궤도 , 이 생기며, 일 경우 거의 모든 초기 조건은 두 극한 주기 궤도 가운데 더 가까운 쪽으로 수렴한다.
- 일 경우, 로렌즈 방정식은 일시적 혼돈(영어: transient chaos)을 보인다. 즉, 두 안정적 극한 주기 궤도 , 가 존재하며 거의 모든 궤도는 이 둘 가운데 하나로 수렴하지만, 일부 초기 조건에 대하여 어느 쪽으로 수렴하는지 여부는 초기 조건에 대하여 민감하게 의존한다.
- 일 경우, 로렌즈 방정식은 일부 초기 조건에 대하여 혼돈을 보이기 시작한다. 그러나 두 극한 주기 궤도 는 여전히 안정적이다.
- 이게 되면 두 극한 주기 궤도는 더 이상 안정적이지 않으며, 거의 모든 초기 조건에 대하여 혼돈이 발생한다.
- 매우 큰 의 값에 대하여 로렌즈 방정식은 다시 비혼돈적이게 된다. 구체적으로, 일 경우 거의 모든 궤도는 극한 주기 궤도로 수렴하게 된다.
다양한 매개 변수 값에서, 로렌즈 끌개는 다음과 같은 모양을 가진다. 여기서는 , 으로 고정시키고, 값을 바꾼다.
역사
[편집]1963년 미국의 기상학자인 에드워드 노턴 로렌즈가 〈결정론적 비주기 흐름〉(영어: Deterministic nonperiodic flow)이라는 논문에서 이 방정식을 발표하였다.[1] 로렌즈 방정식의 유도는 프랑스 물리학자 앙리 베나르(Henri Bénard) (1874–1939)와 영국 물리학자 존 윌리엄 스트럿 레일리(1842–1919)의 이론들이 기초가 된다. 이 방정식의 초기 조건에 대한 민감성의 발견은 혼돈 이론의 시초로 여겨진다.
각주
[편집]- ↑ 가 나 Lorenz, E. N. (1963년 3월). “Deterministic nonperiodic flow”. 《Journal of the Atmospheric Sciences》 (영어) 20 (2): 130–141. doi:10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2.
- Sparrow, C. (1982). 《The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors》. Applied Mathematical Sciences (영어) 41. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-5767-7. ISBN 978-0-387-90775-8. ISSN 0066-5452.
- Viana, M. (2000). “What’s new on Lorenz strange attractors?” (PDF). 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 22: 6–19. doi:10.1007/BF03025276.
- Yorke, J. A. and Yorke, E. D. "Metastable Chaos: The Transition to Sustained Chaotic Oscillation in a Model of Lorenz." J. Stat. Phys. 21, 263-277, 1979.
- Williams, R. F. "The Structure of Lorenz Attractors." Publ. Math. IHÉS 50, 321-347, 1979.
- Rand, D. "The Topological Classification of Lorenz Attractors." Math. Proc. Cambridge Philos. Soc. 83, 451-460, 1978.
같이 보기
[편집]외부 링크
[편집]- “Lorenz attractor”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Lorenz equations”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric Wolfgang. “Lorenz attractor”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.