란다우-라마누잔 상수

란다우-라마누잔 상수(Landau-Ramanujan Constant)는 1908년 에드문트 란다우가 증명한 정리에서 등장하는 양의 실수 $b$이다. 란다우는 어떤 양의 실수 $b$에 대해, 충분히 큰 $x$에 대해, $x$ 이하의 양의 정수 중 두 제곱수의 합으로 나타내어지는 것의 개수는 점근적으로 ${\frac {bx}{\sqrt {\ln x}}}$임을 증명하였다. 정리에서 등장하는 상수 $b$가 란다우-라마누잔 상수이다.

자연수의 제곱합의 함수 $r_{2}(n)$와의 관계 $(OEISA001481)$

$1=0^{2}+1^{2}$

$2=1^{2}+1^{2}$

$4=0^{2}+2^{2}$

$5=1^{2}+2^{2}$

$8=2^{2}+2^{2}$

$S(n)=\sum _{1\to n}r_{2}(n),r_{2}(n)>0$

$S(n)$ 은 $r_{2}(n)$의 누적 개수이다.

$S(1)=1=\overbrace {r_{2}(1)} ^{1}$

$S(2)=2=\overbrace {r_{2}(1),r_{2}(2)} ^{2}$

$S(4)=3=\overbrace {r_{2}(1),r_{2}(2),r_{2}(4)} ^{3}$

$S(5)=4=r_{2}(1),r_{2}(2),r_{2}(4),r_{2}(5)$

$S(8)=5=r_{2}(1),r_{2}(2),r_{2}(4),r_{2}(5),r_{2}(8)$

$K=\lim _{x\to \infty }S(x)\left({{\sqrt {\ln x}} \over {x}}\right)\quad$란다우(1908)

$S(x)=K\int _{A}^{x}\left({{dt} \over {\sqrt {\ln t}}}\right)+\theta (x)\quad$라마누잔, 하디(Hardy 1940)

$K=0.7642236535....(OEISA064533)$

란다우-라마누잔 상수의 다른 형태

두 제곱수의 합

두 제곱수의 합으로 나타내어지는 정수는 그 소인수분해에서 4로 나눈 나머지가 3인 각 소수들의 지수가 짝수인 수이다. 예를 들어, 45 = 9 + 36은 두 제곱수의 합이다. 소인수분해 3² x 5에서 3은 짝수 지수를 가지며, 5는 4로 나눈 나머지가 1이므로 지수가 홀수일 수 있다.

란다우의 정리에는 다음과 같이 되어 있다.

$\lim _{x\rightarrow \infty }\ \left({\frac {\sqrt {\ln x}}{x}}\cdot S(x)\right)=b\approx 0.764223653589220662990698731250092328116790541$ (OEIS의 수열 A064533),

같이 보기

• 수학 상수
• 르장드르 상수
• 소수 정리
• 에드문트 란다우
• 스리니바사 라마누잔