교정 가능 집합

측도론에서, 교정 가능 집합(矯正可能集合, 영어: rectifiable set)은 근사 접공간의 개념을 정의할 수 있는 최소한의 구조를 갖춘, 유클리드 공간 속의 부분 집합이다.

정의

유클리드 공간 $\mathbb {R} ^{n}$ 속의 부분 집합

$S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$

및 자연수 $k$ 및 함수 집합

${\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {C}}^{0}(\mathbb {R} ^{k},\mathbb {R} ^{n})$

에 대하여 다음과 같은 조건을 정의할 수 있다.

조건 ㈀: 어떤 가산 집합 $F\subseteq {\mathcal {F}}$에 대하여, $S\setminus \textstyle \bigcup _{f\in F}f(\mathbb {R} ^{k})$의 $k$차원 하우스도르프 측도가 0이다.

그렇다면, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 부분 집합을 $k$차원 교정 가능 집합(영어: $k$-dimensional rectifiable set)이라고 한다.

• ${\mathcal {F}}={\mathcal {C}}^{1}(\mathbb {R} ^{k},\mathbb {R} ^{n})$가 연속 미분 가능 함수의 집합일 경우의 조건 ㈀
• ${\mathcal {F}}=\operatorname {Lip} (\mathbb {R} ^{k},\mathbb {R} ^{n})$가 립시츠 연속 함수의 집합일 경우의 조건 ㈀

예

평면 속의 단위 정사각형 $\square \subsetneq \mathbb {R} ^{2}$ 속에서, 그 조밀 집합인 가산 집합 $\{x_{0},x_{1},\dotsc \}\subsetneq \square$을 고르자. 또한, 수렴하는 양의 실수의 급수

$\sum _{i=0}^{\infty }r_{i}<\infty$

를 고르자. 그렇다면, $S$가 $x_{i}$를 중심으로 하는, 반지름 $r_{i}$의 원들의 합집합이라고 하자.

$S=\{y\in \mathbb {R} ^{2}\colon \exists i\in \mathbb {N} \colon d(y,x_{i})=r_{i}\}$

그렇다면, 이는 평면 속의 1차원 교정 가능 집합이다.

외부 링크

• “Rectifiable set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.