결맞는 상태

결맞는 상태(-狀態, coherent state)는 양자 조화 진동자의 소멸연산자의 고유상태다. 고전적인 조화 진동자의 상태에 가장 근접한 일련의 상태를 나타낸다.

역사

에르빈 슈뢰딩거가 1926년에 도입하였다. 로이 글라우버(영어: Roy Jay Glauber)가 1963년에 양자광학에 도입하였다.

정의

양자 조화 진동자의 연산자는 사다리 연산자 $a$, $a^{\dagger }$로 나타낸다. 임의의 복소수 $\alpha$에 대하여, 그에 해당하는 결맞는 상태 $|\alpha \rangle$는 다음을 만족한다.

$a|\alpha \rangle =\alpha |\alpha \rangle$

즉 소멸연산자 $a$에 고윳값 $\alpha$를 갖는 고유상태다.

성질

결맞는 상태는 다음을 만족한다. (해밀토니안 $H={\frac {1}{2}}(p^{2}/m+m\omega ^{2}x^{2})$에서 $m=\omega =\hbar =1$로 놓자.)

$\langle x\rangle ={\sqrt {2}}\Re (\alpha )$

$\langle p\rangle ={\sqrt {2}}\Im (\alpha )$

$\Delta x=\Delta p=1/{\sqrt {2}}$

$\langle n\rangle =(\Delta n)^{2}=|\alpha |^{2}$.

사실 입자 수 $n=H-1/2$은 푸아송 분포를 따른다. 즉

$P(n)=\exp(-|\alpha |^{2})|\alpha |^{2n}/n!$

이다.

표현

결맞는 상태는 포크 기저로 전개하면 다음과 같다.

$|\alpha \rangle =e^{-{|\alpha |^{2} \over 2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha ^{n} \over {\sqrt {n!}}}|n\rangle$.

위치 기저로 전개하면 다음과 같다.

$\psi ^{(\alpha )}(x,t)={\frac {1}{\pi ^{1/4}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(x-{\sqrt {2}}\Re [\alpha (t)]\right)^{2}+i{\sqrt {2}}\Im [\alpha (t)]x+i\delta (t)\right)$

여기서

$\delta (t)=-{\frac {1}{2}}t+{\frac {1}{2}}|\alpha (0)|^{2}\sin(2t-2\sigma )$

다. $\sigma$는 초기조건을 나타내는 도움변수다.

참고 문헌

• Klauder, John R. (2009). “Coherent state (Quantum mechanics)”. 《Scholarpedia》 4 (9): 8686. doi:10.4249/scholarpedia.8686.