혼돈 이론
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혼돈 이론(混沌理論, 영어: chaos theory 케이오스 시어리[*]) 또는 카오스 이론은 특정 비선형 동역학계가 특정 조건에서 혼돈이라는 현상을 보이는 경우를 연구한다. 이 혼돈은 초기 조건이 조금만 달라져도 결과가 상당히 다르게 나오는 것을 의미한다.
이러한 혼돈 현상은 나비효과로 잘 알려져 있으며, 지구의 대기, 판 구조론, 경제/인구 현상, 다중성계의 궤도 변화 등을 이 이론으로 설명할 수 있다.
이론 설명
비선형 동역학계는 일반적으로 아래에 설명된 행태 중 하나 이상을 보일 수 있다:
나타나는 행태의 종류는 계의 초기조건과 존재하는 매개변수의 값에 따라서 결정된다.
혼돈 운동
가장 잘 알려져 있는 형태의 종류는 이론의 이름 대로 혼돈 운동으로 비주기적으로 복잡한 운동을 말한다. 어느 계의 행태를 혼돈으로 분류하기 위해서 그 계는 다음과 같은 특성을 보여야 한다:
- 속박계이어야 한다.
- 초기조건에 민감해야 한다.
- 확산성이 있어야 한다.
- 계의 주기궤도가 촘촘해야 한다.
초기 조건에 민감하다는 것은 초기 상태의 차이가 아주 작은 두 계가 위상공간에서 전혀 다른 궤적을 따라 움직일 수 있다는 것을 의미한다. 이런 경우 계의 움직임이 같으려면 초기조건이 정확히 같아야 한다. 이런 민감성의 한 예가 소위 "나비 효과"로 나비의 날개짓에 의한 대기의 미소한 변화가 시간이 흐름에 따라 증폭되어 토네이도같이 극적인 상태를 야기할 수 있음을 의미한다. 나비의 날개짓이 나타내는 계의 초기조건에 대한 "작은" 차이가 일련의 사건을 거쳐 토네이도와 같은 거시적인 현상을 일으킨다는 것이다. 만약 나비가 날개짓을 하지 않았다면 계의 위상공건상 궤적은 전혀 달랐을 것이다.
또 다른 혼돈 운동의 잘 알려진 예로 염료 색의 섞임 현상과 공기의 난기류 현상등이 있다.
계의 확산성이란 수학적으로 임의의 구간 에 적용된 변환이 늘어나 다른 임의의 구간 와 겹치는 것을 의미한다.
끌개
혼돈 운동 또는 어떤 형태의 운동이라도 시각적으로 표시하는 방법 중 한가지는 운동의 위상도를 그리는 것이다. 이러한 그림에서 시간은 내재되어 있으며 각 축은 상태의 한 차원을 나타낸다. 예를 들어 이런 위상도에서 정지해 있는 계는 점으로 그려질 것이며 주기 운동을 하는 계는 단일 폐곡선으로 그려질 것이다.
한 계의 위상도는 계의 초기조건에 (그리고 매개변수의 값에) 따라 바뀌지만 대개는 일정한 운동궤적 주위의 초기조건에 대해서는 마치 그 운동궤적에 이끌리듯이 같은 궤적에 도달하는 경우가 많다. 이렇게 이끄는 운동은 적절하게도 그 계의 "끌개"라고 하며 강제된 흩어지기계(forced dissipative system)에서는 아주 흔하게 발견된다.
기이한 끌개
위에서 언급된 운동 형태 중 대부분은 점(고정점)이나 원형 곡선(끝돌이)등의 아주 단순한 형태의 끌개를 보이지만 혼돈 운동은 "기이한 끌개"로 알려진 매우 세밀하면서도 복잡한 형태의 끌개를 보인다. 예를 들어 에드워드 노턴 로렌즈의 기상계를 본뜬 단순한 3차원 본뜨기는 유명한 로렌즈 끌개를 보인다. 로렌즈 끌개는 아마도 가장 잘 알려진 혼돈계의 그림일 텐데 이는 이것이 최초의 끌개 그림 중 하나라는 것보다는 가장 복잡한 끌개 그림 중 하나이며 또한 나비의 날개 같은 매우 흥미로운 형태를 보이기 때문일 것이다. 또 다른 끌개로 로지스틱 본뜨기처럼 주기배증의 혼돈경로를 따르는 뢰슬러 본뜨기가 있다.
기이한 끌개는 프랙탈 구조를 가지고 있다.
역사
혼돈 이론의 시작은 1900년대에까지 거슬러 올라간다. 앙리 푸앵카레가 서로 인력을 나타내는 3체의 운동에 관한 문제인 이른바 삼체 문제를 연구하고 있을 무렵, 푸앵카레는 비주기성이면서도 영원히 증가하지도, 또한 고정점에 도달하지도 않는 궤도가 있을 수 있다는 것을 발견하였다. 조지 데이비드 버코프, 안드레이 콜모고로프, 메리 루시 카트라이트(Mary Lucy Cartwright), 존 이든저 리틀우드, 스티븐 스메일 등이 이후 비선형 미분식에 관해 연구를 수행하였다. 비선형 동역학을 연구한 최초의 순수 수학자로 여겨지는 스메일을 제외한 모든 연구는 직접적으로 물리학에 의해 자극을 받아 시작되었다. 다시 말해, 버코프는 3체 문제, 콜모고로프는 난류 및 천체 문제, 카트라이트와 리틀우드는 무선 공학이라는 물리학의 문제를 연구하는 과정에서 비선형 연구가 시작된 것이다. 비록 혼돈 행성 운동이 관측되지는 않았지만, 실험 물리학자들은 유체 운동에서의 난류나, 무선 회로에서의 비주기 진동을 경험하였고, 관측된 현상을 설명할 수 있는 이론은 전무한 상태였던 것이다.