프로베니우스 다양체

미분기하학에서 프로베니우스 다양체(영어: Frobenius manifold)는 접공간에 프로베니우스 대수의 구조가 정의된, 평탄한 리만 다양체이다. 이들은 2차원 위상 양자장론의 모듈라이 공간을 나타낸다.

역사[편집]

보리스 두브로빈(Boris Dubrovin)이 정의하였다.^[1]

편의상 아인슈타인 표기법을 사용한다.

프로베니우스 다양체 $(M,g,A)$ 는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이들은 다음 성질들을 만족시켜야 한다.

(평탄성) $(M,g)$ 의 리만 곡률이 0이다. 즉, $R_{ij}{}^{k}{}_{l}=0$ 이며, 따라서 공변 미분 $\nabla$ 이 일반 편미분 $\partial$ 과 일치한다.
(적분가능성) 국소적으로, $A_{ijk}=\partial _{i}\partial _{j}\partial _{k}\Phi$ 인 함수 $\Phi$ 가 존재한다. (이는 대역적으로 성립하지 않을 수 있다.) 이를 프리퍼텐셜(영어: prepotential) 또는 자유 에너지라고 부른다.^[2]^:73 이에 따라 $A_{ijk}$ 는 완전 대칭이다. 즉, $A_{ijk}=A_{jik}=A_{kij}$ 이다.
(결합성) $*$ 는 결합법칙을 따른다. 즉, $(X*Y)*Z=X*(Y*Z)$ 이다. 성분으로 쓰면, $A_{ij}{}^{l}A_{lk}{}^{m}=A_{il}{}^{m}A_{jk}{}^{l}$ 이다.

결합성 조건을 프리퍼텐셜로 쓰면 다음과 같다.

(\partial _{i}\partial _{j}\partial _{l}\Phi )g^{ll'}(\partial _{l'}\partial _{k}\partial _{m}\Phi )=(\partial _{i}\partial _{l}\partial _{m}\Phi )g^{ll'}(\partial _{j}\partial _{k}\partial _{l}\Phi )

이를 위튼-데이크흐라프-페를린더-페를린더 방정식(영어: Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde equation) 또는 WDVV 방정식이라고 하며, 에드워드 위튼, 로베르튀스 데이크흐라프, 에릭 페를린더(Erik Verlinde), 헤르만 페를린더(Herman Verlinde)가 발견하였다.^[3]^[4]

↑ Dubrovin, Boris. “Geometry of 2d topological field theories” (영어). arXiv:hep-th/9407018. Zbl 0841.58065.
↑ Dijkgraaf, Robbert (1997년 3월). “Les Houches lectures on fields, strings and duality” (영어). arXiv:hep-th/9703136. Bibcode:1997hep.th....3136D.
↑ Witten, Edward (1990). “Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space”. 《Surveys in Differential Geometry》 (영어) 1: 243–310. doi:10.4310/SDG.1990.v1.n1.a5. Zbl 0757.53049.
↑ Dijkgraaf, Robbert; Herman Verlinde, Erik Verlinde. “Topological strings in $d<1$ ” (영어). Bibcode:1991NuPhB.352...59D. doi:10.1016/0550-3213(91)90129-L. |제목=에 지움 문자가 있음(위치 24) (도움말)

Manin, Yuri I. (1999). 《Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology, and Moduli Spaces》. Colloquium Publications (영어) 47. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-1917-3. Zbl 0952.14032.
Dubrovin, Boris. “Geometry and analytic theory of Frobenius manifolds” (영어). arXiv:math/9807034. Bibcode:1998math......7034D. Zbl 0916.32018.
Manin, Yu. I. (1998). “Three constructions of Frobenius manifolds: a comparative study” (영어). arXiv:math/9801006. Bibcode:1998math......1006M.
Manin, Yu. I.; S. A. Merkulov (1997년 3월). “Semisimple Frobenius (super)manifolds and quantum cohomology of $\mathbb {P} ^{r}$ ” (PDF). 《Topological Methods in Nonlinear Analysis》 (영어) 9 (1): 107–161. arXiv:alg-geom/9702014. Bibcode:1997alg.geom..2014M. Zbl 0908.53011. 2013년 10월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 10월 22일에 확인함. |제목=에 지움 문자가 있음(위치 65) (도움말)
Manin, Yu. I. “Manifolds with multiplication on the tangent sheaf” (영어). arXiv:math/0502578. Bibcode:2005math......2578M. Zbl 1268.14049.

Looijenga, Eduard (2009). “Introduction to Frobenius manifolds. Notes for the MRI master class 2009” (PDF) (영어). 2013년 10월 22일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2013년 10월 22일에 확인함.