프로베니우스 다양체

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미분기하학에서, 프로베니우스 다양체(영어: Frobenius manifold)는 접공간프로베니우스 대수의 구조가 정의된, 평탄한 리만 다양체이다. 이들은 2차원 위상 양자장론모듈러스 공간을 나타낸다.

역사[편집]

보리스 두브로빈(Boris Dubrovin)이 정의하였다.[1]

정의[편집]

편의상 아인슈타인 표기법을 사용한다.

프로베니우스 다양체 (M,g,A)는 다음과 같은 데이터로 주어진다.

이들은 다음 성질들을 만족시켜야 한다.

  • (평탄성) (M,g)리만 곡률이 0이다. 즉, R_{ij}{}^k{}_l=0이며, 따라서 공변 미분 \nabla이 일반 편미분 \partial과 일치한다.
  • (적분가능성) 국소적으로, A_{ijk}=\partial_i\partial_j\partial_k\Phi인 함수 \Phi가 존재한다. (이는 대역적으로 성립하지 않을 수 있다.) 이를 프리퍼텐셜(영어: prepotential) 또는 자유 에너지라고 부른다.[2]:73 이에 따라 A_{ijk}는 완전 대칭이다. 즉, A_{ijk}=A_{jik}=A_{kij}이다.
  • (결합성) *결합법칙을 따른다. 즉, (X*Y)*Z=X*(Y*Z)이다. 성분으로 쓰면, A_{ij}{}^lA_{lk}{}^m=A_{il}{}^mA_{jk}{}^l이다.

결합성 조건을 프리퍼텐셜로 쓰면 다음과 같다.

(\partial_i\partial_j\partial_l\Phi)g^{ll'}(\partial_{l'}\partial_k\partial_m\Phi)=(\partial_i\partial_l\partial_m\Phi)g^{ll'}(\partial_j\partial_k\partial_l\Phi)

이를 위튼-데이크흐라프-페를린더-페를린더 방정식(영어: Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde equation) 또는 WDVV 방정식이라고 하며, 에드워드 위튼, 로베르튀스 데이크흐라프, 에릭 페를린더(Erik Verlinde), 헤르만 페를린더(Herman Verlinde)가 발견하였다.[3][4]

참고 문헌[편집]

  1. (영어) Dubrovin, Boris. Geometry of 2d topological field theories. arXiv:hep-th/9407018. Zbl 0841.58065.
  2. (영어) Dijkgraaf, Robbert (1997년 3월). Les Houches lectures on fields, strings and duality. arXiv:hep-th/9703136. Bibcode1997hep.th....3136D.
  3. (영어) Witten, Edward (1990년). Two-dimensional gravity and intersection theory on moduli space. 《Surveys in Differential Geometry》 1: 243–310. doi:10.4310/SDG.1990.v1.n1.a5. Zbl 0757.53049.
  4. (영어) Dijkgraaf, Robbert, Herman Verlinde, Erik Verlinde. Topological strings in d<1. doi:10.1016/0550-3213(91)90129-L. Bibcode1991NuPhB.352...59D.

바깥 고리[편집]