최소상계

집합 $A$의 모든 원소가 파란색으로 표시되어 있다. 임의의 빨간색 원소는 모든 파란색 원소보다 크거나 같고, 그 중에서 가장 작은 빨간색 값(다이아몬드)이 최소상계가 된다.

상한(supremum) 또는 최소상계(least upper bound, LUB)은 집합의 모든 원소가 어떤 값보다 작거나 같은, 그 값의 최소값을 가리킨다.

일반적인 최소상계의 정의

순서체 F의 위로 유계인 부분집합 S의 상계 z₀가 다른 모든 S의 상계 z에 대해 z₀ ≦ z 를 만족하면 z₀를 S의 최소상계라 하고 z₀ = sup{S} 로 표현한다.

실수에서 최소상계의 정의

위로 유계인 집합 S ⊂ R 의 상계 z₀가 다른 모든 S의 상계 z에 대해 z₀ ≦ z 를 만족하면 z₀를 S의 최소상계라 하고 z₀ = sup{S} 로 표현한다.

예를 들면, $\sup \, \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \} = \sup \, \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 1 \} = 1$가 된다.

특별한 경우

• 상계가 없는 경우, $\sup S = + \infty$ 라 한다.
• S가 공집합인 경우 $\sup S = - \infty$라 한다.

최대값과의 차이

최대값 max{S}와 최소상계 sup{S}는 서로 다르다. 최대값의 경우는 집합 S안에서의 가장 큰 값을 의미하지만, 최소상계는 굳이 집합 안의 값을 가질 필요가 없다. 예를 들어 개구간 (0,1)의 최소상계는 1이지만, 최대값은 존재하지 않는다.

같이보기

• 유계
• 최대하계
• 최대값
• 최소상계공리