중심이항계수

자연수 $n$에 대해 $n$ 번째 중심이항계수(Central binomial coefficient)는 다음과 같은 이항계수의 항으로 정의된다.

${{2n}\choose{n}} = \frac{(2n)!}{(n!)^2}$

이 수들은 파스칼의 삼각형의 각 짝수번째 줄의 중심에 위치하므로 이러한 이름이 붙었다. $n =0$ 부터 시작하여 처음 몇 개의 항은 다음과 같다.(OEIS의 수열 A000984):

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 432, 12870, 48620, …

성질

중심이항계수는 다음 생성함수(generating function)의 계수로 표현된다.

$\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots.$

스털링 근사에 의해 다음을 얻는다.

${2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ as $n\rightarrow\infty$.

다음 부등식이 성립한다.

$\frac{4^n}{\sqrt{4n}} \leq {2n \choose n} \leq \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}}$ for all $n \geq 1$

카탈란 수에서도 등장한다. 모든 자연수 $n$에 대해, 카탈란 수의 $n$번째 항 $C_n$은

$C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} - {2n \choose n+1}$

이 성립한다.

베르트랑의 공준(Bertrand's postulate)를 증명할 때, 중심이항계수의 성질로부터 시작한다. 또한, 아페리 상수(Apéry's constant)가 무리수임을 증명할 때 쓰이는 급수에 등장한다.

참고

• Central Binomial Coefficient in MathWorld