접촉기하학

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접촉기하학(接觸幾何學, 영어: contact geometry)은 접촉 구조를 연구하는, 미분기하학의 한 분야이다. 짝수 차원에서 존재하는 심플렉틱 기하학에 대응되는 분야이며, 홀수 차원의 다양체를 다룬다.

정의[편집]

M2n+1차원의 미분다양체라고 하자. M 위의 접촉 형식(接觸形式, 영어: contact form)는 다음과 같은 조건을 만족하는 1차 미분형식 \alpha이다.

  • \alpha\wedge(d\alpha)^n\ne0.

접촉 형식들의 집합에 다음과 같은 동치관계를 정의하자. \lambda\colon M\to\mathbb R가 어디서나 0이 아닌 연속함수라면,

\alpha\sim\lambda\alpha.

이 동치관계에 대한 동치류 [\alpha]접촉 구조(接觸構造, 영어: contact structure)라고 한다. 즉, 같은 동치류에 속하는 서로 다른 두 접촉 형식은 같은 접촉 구조를 정의한다. 또한, 접촉 형식이 국소적으로만 존재하는 경우도 있는데, 이 경우 접촉 형식들이 국소적으로 존재하여, 그 이어붙이는 구간에 서로 동치여야 한다. 이는 심플렉틱 기하학에서 심플렉틱 퍼텐셜이 국소적으로만 존재하는 것과 마찬가지다.

접촉 구조를 갖춘 미분다양체를 접촉다양체(接觸多樣體, 영어: contact manifold)라고 한다.

레브 벡터장[편집]

접촉 형식 \alpha가 주어지면, 레브 벡터장(Reeb vector field)은 다음 두 조건을 만족하는 유일한 벡터장 X이다.

  • X\lrcorner d\alpha=0 (\lrcorner는 내부적(interior product)
  • X\lrcorner\alpha=1.

이 벡터장은 접촉 형식에 의존한다. 즉, 같은 접촉 구조를 나타내는 접촉 형식도 다른 레브 벡터장을 가질 수 있다.

르장드르 부분다양체[편집]

심플렉틱 다양체에는 자연스럽게 라그랑주 부분다양체를 정의할 수 있다. 마찬가지로 접촉다양체에도 자연스러운 부분다양체의 개념이 존재하는데, 이를 르장드르 부분다양체(Legendrian submanifold)라고 한다. M이 접촉다양체이고, \alpha가 그 (국소적) 접촉 형식이라면, 다음을 만족하는 부분다양체 N\subset MM르장드르 부분다양체라고 한다.

  • 모든 x\in N에서, T_xN\lrcorner\alpha=0.

이 조건은 접촉 형식의 선택에 의존하지 않는다. 즉, 서로 동치인 두 접촉 형식은 같은 르장드르 부분다양체를 정의한다.

접촉다양체의 심플렉틱화[편집]

2n+1차원 접촉다양체 M이 주어지면, 다음과 같이 M을 부분다양체로 갖는 2n+2차원 심플렉틱 다양체 (\hat M,\omega)를 다음과 같이 정의할 수 있는데, 이를 심플렉틱화(symplectization)라고 한다.

다양체로서, \hat M=M\times(0,\infty)이다. 여기에 다음과 같이 심플렉틱 형식 \omega를 정의할 수 있다. M의 국소좌표계 x^i를 잡고, 0<\lambda<\infty가 벡터 다발의 좌표라고 하자. 또한, \alphaM의 접촉 형식이라고 하자. 그렇다면 (x^i,\lambda)에 다음과 같이 심플렉틱 형식을 정의할 수 있다.

\omega=d(\lambda\alpha)=d\lambda\wedge\alpha+\lambda d\alpha.

해밀턴 역학과의 관계[편집]

해밀토니언이 시간에 의존하지 않는 경우, 해밀턴 역학은 자연스럽게 심플렉틱 기하학으로 다루어진다. 해밀토니언이 시간에 의존하는 경우, 해밀턴 역학은 자연스럽게 접촉기하학으로 다루어진다.

일반화 위치 q^i일반화 운동량 p_i, 시간 t를 좌표로 하는 2n+1차원 공간 M을 생각하자. 이를 확장 위상 공간(extended phase space)이라고 한다. 해밀토니언 H\colon M\to\mathbb R는 확장 위상 공간 위에 정의된 함수다. 그렇다면 여기에 다음과 같은 접촉 형식 \alpha를 정의할 수 있다.

\alpha=\sum_ip_idq^i-H(q,p,t)dt.

이로써 확장 위상 공간은 접촉다양체의 구조를 가진다.

이 접촉 형식의 레브 벡터장은 다음과 같다.

X=\frac1L\left(
\frac{\partial}{\partial t}
+\sum_i\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q^i}
-\sum_i\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p^i}\right).

여기서

L=\frac{\partial H}{\partial q_i}p^i-H

라그랑지언이다.

물리량 F(q,p,t)의 시간 변화는 다음과 같다.

\frac{dF}{dt}=LX^I\frac{\partial F}{\partial x^I}.

(여기서 x^I=(q^1,\dots,q^i,\dots,q^n,p_1,\dots,p_i,\dots,p_n,t)이다.) 시간 대신 작용 dS=Ldt를 변수로 하면 다음과 같다.

\frac{dF}{dS}=X^I\frac{\partial F}{\partial x^I}.

같이 보기[편집]

참고 문헌[편집]

바깥 고리[편집]

  • (영어) Lumiste, Ü. (2001). Contact structure. 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer.