이음 (위상수학)

두 선분의 이음은 다음과 같은, 속이 찬 사면체이다.

대수적 위상수학에서 이음(영어: join 조인^[*])은 두 위상 공간 $X$, $Y$가 주어졌을 때, $X$와 $Y$의 분리합집합에, $X$의 한 점과 $Y$의 한 점을 잇는 모든 선분들을 추가하여 얻는 위상 공간이다.

정의

두 위상 공간 $X$, $Y$의 이음은 다음과 같은 곱공간의 몫공간이다.

$X\star Y={\frac {X\times Y\times [0,1]}{\sim }}$

여기서 동치 관계 $\sim$는 다음과 같다.

$(x,y,t)\sim (x',y',t')\iff (t=t')\land \left(x=x'\lor t=1\right)\land \left(y=y'\lor t=0\right)$

즉,

$(x,y,0)\sim (x',y,0)$

$(x,y,1)\sim (x,y',1)$

이다. 다시 말해, 기둥 $X\times Y\times [0,1]$을 양끝에서 서로 반대 방향으로 찌그려뜨린 것이다.

한원소 공간 $Y=\{\bullet \}$과의 이음

$X\star \{\bullet \}\cong {\frac {X\times [0,1]}{X\times \{1\}}}$

을 $X$의 뿔(영어: cone)이라고 한다.

두 점을 가진 공간 $(X,\bullet _{X})$, $(Y,\bullet _{Y})$의 축소 이음(영어: reduced join)은 다음과 같다.

$X*Y={\frac {X\star Y}{X\star \{\bullet _{Y}\}\cup \{\bullet _{X}\}\star Y}}$

이는 사실 분쇄곱 $X\wedge Y$의 축소 현수와 위상 동형이다. 이음과 축소 이음은 서로 호모토피 동치이다.

예

초구의 이음은 다음과 같이 초구이다.

$\mathbb {S} ^{m}\star \mathbb {S} ^{n}\cong \mathbb {S} ^{m+n+1}$

크기 2의 이산 공간 $\mathbb {S} ^{0}$과의 이음은 현수와 위상 동형이다.

외부 링크

• “Join”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Cone”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Space join”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Join of topological spaces”. 《nLab》 (영어). 
• “Cone”. 《nLab》 (영어).