스핀C 군

리 군론에서 스핀C 군(spin C群, 영어: spin^c group)은 스핀 군과 원군의 뒤틀린 곱인 리 군이다. 미분기하학에서 스핀C 다양체를 정의할 때 쓰인다.

정의

자연수 $n$이 주어졌다고 하자. $n$차 스핀C 군 $\operatorname {Spin^{c}} (n)$은 다음 짧은 완전열로 정의된다.

$1\to \mathbb {Z} _{2}{\stackrel {\kappa \times \iota }{\hookrightarrow }}\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {Spin^{c}} (n)\to 1$.

여기서 $\kappa \times \iota$는 다음 두 군 준동형의 대각 사상이다.

$1\to \mathbb {Z} _{2}{\stackrel {\kappa }{\hookrightarrow }}\operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)\to 1$

$1\to \mathbb {Z} _{2}{\stackrel {\iota }{\hookrightarrow }}\operatorname {U} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {U} (1)\to 1$

성질

스핀C 군은 다음과 같은 짧은 완전열을 만족시킨다.

$1\to \mathbb {Z} _{2}\hookrightarrow \operatorname {Spin^{c}} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\to 1$.

즉, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

${\begin{matrix}&&\!\!\!\!\!\!\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\!\!\!\!\!\!\\&\swarrow &\downarrow &\searrow \\\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&&\operatorname {Spin^{c}} (n)&&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\\&\searrow &\downarrow &\swarrow \\&&\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {U} (1)\end{matrix}}$

여기서 각 군 준동형의 핵은 $\mathbb {Z} /2$이다.

위상수학적 성질

$n$차 스핀C 군 $\operatorname {Spin^{c}} (n)$은 $n(n-1)/2+1$차원 연결 콤팩트 리 군이다. $n\geq 3$, $n\neq 4$일 때, 낮은 차수의 호모토피 군은

$\pi _{1}(\operatorname {Spin^{c}} (n))\cong 0$

$\pi _{1}(\operatorname {Spin^{c}} (n))\cong \mathbb {Z}$

$\pi _{2}(\operatorname {Spin^{c}} (n))\cong 0$

$\pi _{3}(\operatorname {Spin^{c}} (n))\cong \mathbb {Z}$

이다. ($n=4$일 때는 $\pi _{3}(\operatorname {Spin^{c}} (4))\cong \mathbb {Z} ^{2}$이다.)

리 대수

스핀C 군에 대응되는 리 대수는 단순히

${\mathfrak {lie}}(\operatorname {Spin^{c}} (n))={\mathfrak {o}}(n)\oplus {\mathfrak {u}}(1)$

이다.

표현

$n$차원 스핀 군의 디랙 스피너 표현 $V$를 생각하자. 이는 복소수 $2^{\lfloor n/2\rfloor }$차원 유니터리 표현이다. 즉, 이는 단사 군 준동형

$\operatorname {Spin} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (V)$

을 정의한다. 그런데 또한 군의 중심

$\operatorname {U} (1)\cong \operatorname {Z} (\operatorname {U} (V))\hookrightarrow \operatorname {U} (V)$

을 생각할 수 있으며, 이는 부분군

$\operatorname {Spin^{c}} (n)\hookrightarrow \operatorname {U} (V)$

를 정의한다. (직관적으로, 스피너는 360도 회전하면 −1이 곱해지게 된다.)

외부 링크

• “spin^c”. 《nLab》 (영어).