스테라디안

1 스테라디안.

스테라디안(steradian, 기호 sr)은 입체각의 국제 단위이다. 평면에서 각도를 나타내는 라디안처럼, 3차원 공간에서 각도로 나타나는 2차원의 영역을 나타낼때 사용된다. 용어는 견고함을 의미하는 그리스어: στερεός 스테레오스^[*] 와 광선을 의미하는 라틴어: radius 라디우스에서 유래한다.

스테라디안은 라디안 처럼 무차원상수이다. 즉, 1 sr = m²·m^-2 = 1. 구 전체의 입체각은 4$\pi$ sr이 된다.

정의

1 스테라디안은 반지름이 r인 구의 표면에서 r²인 면적에 해당하는 입체각이다.

콘의 단면(1) 과 잘린 반구(spherical cap) (2)

면적 A가 r² 와 같고, 반구의 표면적 ($A = 2\pi rh$)과도 같다면, $\frac{h}{r}=\frac{1}{2\pi}$ 이 관계를 따르게 된다. 그러므로, 각 $\theta$를 갖는 콘의 입체각은 다음과 같아진다.

$\begin{align} \theta & = \arccos \left( \frac{r-h}{r} \right)\\ & = \arccos \left( 1 - \frac{h}{r} \right)\\ & = \arccos \left( 1 - \frac{1}{2\pi} \right) \approx 0.572 \,\text{rad} \mbox{ or } 32.77^\circ \end{align}$

이것은 축으로부터의 각(apex angle)의 2$\theta$ ≈ 1.144 rad or 65.54°에 대응된다.

구의 면적이 $4\pi$ r²이므로, 정의에 의해 구는 4$\pi$ =12.56637 스테라디안이다. 같는 논리로, 최대 입체각은 4$\pi$sr 이다. 스테라디안은 squared radian으로 불리기도한다.

스테라디안은 1 라디안의 angle excess(angle excess)를 갖는 다각형의 구면, 또는 완전한 구의 1/(4$\pi$), 또는 (180/$\pi$)² 제곱 각(square degree), 또는 3282.80635 제곱 각과 같다.

스테라디안은 SI 보조 단위였으나, 1995년 SI 보조 단위가 폐지 되면서, SI 유도 단위가 되었다.

라디안과 유사성

2차원 평면에서, 라디안으로 표현되는 각은 잘려지는 호의 길이와 관련이 있다.

$\theta = \frac{l}{r} \,$

l 은 호의 길이

r 은 원의 반지름.

3차원에서, 스테라디안으로 표현되는 입체각은 잘려지는 면적과 관련이 있다.

$\Omega = \frac{S}{r^2} \,$

S 은 표면적

r 은 구의 반지름.

같이 보기

• 입체각
• 라디안