슈와르츠 공간

슈와르츠 공간은 매끈하고, 그 어느 다항함수보다 빨리 감소하는 함수로 이루어진 위상 벡터 공간이다. 푸리에 변환에 대하여 닫혀 있다. 로랑 슈와르츠가 도입하였다. 조절된 초함수 (tempered distribution)을 정의하는 데 쓰인다.

정의

편의상 다중지표(multi-index)를 사용하자. $n$차원 공간에서, 다중지표란 $\mathbb N^n$의 원소다. 즉, $n$개의 음이 아닌 정수의 순서쌍이다. 다중지표 $\alpha=(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$가 주어지면, 다음을 정의하자. 임의의 $x\in\mathbb R^n$에 대해,

$x^\alpha=x_1^{\alpha_1}x_2^{\alpha_2}\cdots x_n^{\alpha_n}$.

또한,

$\partial^\alpha=\frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}}\frac{\partial^{\alpha_2}}{\partial x_2^{\alpha_2}}\cdots\frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}}$.

(편미분 연산은 가환한다고 가정한다.)

임의의 매끈한 함수 $f\colon\mathbb R^n\to\mathbb R$에 대하여 다음과 같은 노름을 정의하자. 임의의 다중지표 $\alpha$와 $\beta$에 대하여,

$\lVert f\rVert_{\alpha,\beta}=\sup_{x\in\mathbb R^n}|x^\alpha\partial^\beta f(x)|$.

슈와르츠 함수란 매끈하고 모든 $(\alpha,\beta)$-노름이 유한한 함수다. 슈와르츠 공간 $\mathcal S(\mathbb R^n)$은 슈와르츠 함수의 집합이다. 슈와르츠 공간은 자명하게 벡터 공간을 이루며, 또한 곱셈에 대해 닫혀 있다. 이에 따라, 푸리에 변환은 슈와르츠 공간에 유니타리 연산자임을 보일 수 있다. 즉, 푸리에 변환은 슈와르츠 공간의 선형 자기동형사상이다.

$(\alpha,\beta)$-노름을 통하여 슈와르츠 공간에 위상을 정의할 수 있다. 즉 함수 수열$f_i\in\mathcal S(\mathbb R^n)$가 $f\in\mathcal S(\mathbb R^n)$으로 수렴하려면, 모든 $(\alpha,\beta)$에 대하여

$\lim_{i\to\infty}\lVert f_i-f\rVert_{\alpha,\beta}=0$

이어야 한다. 자명하게, 슈와르츠 공간은 프레셰 공간 (Fréchet space, 가산 개의 세미노름으로 정의할 수 있는 위상 벡터 공간)을 이룬다.