브라마굽타의 공식

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--125.181.123.133 (토론) 2014년 12월 4일 (목) 00:50 (KST)--125.181.123.133 (토론) 2014년 12월 4일 (목) 00:50 (KST)--125.181.123.133 (토론) 2014년 12월 4일 (목) 00:50 (KST)--125.181.123.133 (토론) 2014년 12월 4일 (목) 00:50 (KST)--125.181.123.133 (토론) 2014년 12월 4일 (목) 00:50 (KST)브라마굽타 공식이란, 에 내접하는 사각형의 네 변의 길이를 알고 있을 때 그 사각형의 면적을 구하는 공식이다.

정리[편집]

원에 내접하는 사각형의 각 선분의 길이가 a, b, c, d일 때, 사각형의 넓이 s는

S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}

이고 여기에서 s는

s=\frac{a+b+c+d}{2}

인 값이다.

이때, d = 0으로 생각하면 이 때는 원에 내접하는 삼각형에 대한 넓이 공식이 나오고, 이것은 헤론의 공식과 일치한다.

증명[편집]

Brahmaguptas formula.png

원 O 에 사각형 ABCD가 내접한다고 하고, 각 변의 길이를 p, q, r, s라고 하자. 그러면 사각형 ABCD의 넓이 S는 삼각형 ADB과 삼각형 BCD의 넓이의 합과 같으므로,

S = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin C

가 성립한다. 이 때, 사각형 ABCD가 원에 내접하므로,

\angle DAB = 180^\circ - \angle DCB

이고, 따라서

S = \frac{1}{2}pq\sin A + \frac{1}{2}rs\sin A
(S)^2 = \frac{1}{4}\sin^2 A (pq + rs)^2
4(S)^2 = (1 - \cos^2 A)(pq + rs)^2 \,
4(S)^2 = (pq + rs)^2 - cos^2 A (pq + rs)^2 \,

여기에서 삼각형 ADB와 BDC에 대해 코사인 제 2 법칙을 사용하면

BD^2 = p^2 + q^2 - 2pq\cos A = r^2 + s^2 - 2rs\cos C \,

그리고 cos C = -cos A를 대입하고 정리하면

2\cos A (pq + rs) = p^2 + q^2 - r^2 - s^2 \,

따라서

4(S)^2 = (pq + rs)^2 - \frac{1}{4}(p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2
16(S)^2 = 4(pq + rs)^2 - (p^2 + q^2 - r^2 - s^2)^2 \,
= ( (p+q)^2 - (r-s)^2 )( (r+s)^2 - (p-q)^2 ) \,
= (p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p) \,

T = \frac{p+q+r+s}{2},로 놓으면

(S)^2 = (T-p)(T-q)(T-r)(T-s) \,
S = \sqrt{(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}

가 얻어진다.

일반화[편집]

원에 내접하지 않는 경우에도 비슷한 식을 얻을 수 있다.

임의의 사각형의 각 변의 길이를 a, b, c, d라고 하고, 마주보는 두 각의 합을 2로 나눈 값을 θ라고 하면

S = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos^2\theta}

가 얻어진다. 이를 브레트슈나이더 공식(Bretschneider's formula)이라고 한다.