볼츠만 운송 방정식

통계역학에서 볼츠만 운송 방정식(Boltzmann運送方程式, 영어: Boltzmann transport equation)은 충돌로만 상호작용하는 이상 기체의 비평형 통계역학계를 다루는 적분 미분 방정식이다.^:52–62 1입자 위상 공간 위의 입자수 분포의 시간 변화를 나타내며, 입자들 사이의 상호작용은 두 입자의 충돌로 근사한다.

역사

루트비히 볼츠만이 1872년 〈기체 분자의 열평형에 대한 추가 연구〉(독일어: Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen)라는 논문에서 H 정리와 같이 발표하였다.

정의

볼츠만 운송 방정식은 2입자 충돌로만 상호작용하는 이상 기체의 비평형 통계역학을 다룬다. 이 경우, 입자들이 충돌하지 않는 동안에는 고전역학적으로 근사하지만, 두 입자의 충돌은 양자역학적으로 다룬다. 충돌을 다루려면 소위 분자 혼돈(分子混沌, 영어: molecular chaos)이라는 통계적인 가정을 추가하여야 한다.

$N$개의, 질량이 $m$인 동일한 고전적 입자가 존재한다고 하자. 하나의 입자의 운동은 해밀턴 역학으로 다룰 수 있다고 가정하고, 하나의 입자의 위상 공간을 $X$, 하나의 입자만을 다루는 해밀토니언을 $H$라고 하자.

이 위에 시간에 따른 입자수 밀도

$f\colon \mathbb {R} \times X\to [0,\infty )$

$f\colon (t,x,p)\mapsto f(t,x,p)$

를 생각하자. 계의 총 입자수는 시간에 따라 변화하지 않는다.

$N=\int _{X}f(t,x,p)\,dx\,dp$

${\frac {dN}{dt}}=0$

그렇다면 볼츠만 운송 방정식은 다음과 같은 적분 미분 방정식이다.

${\frac {\partial f}{\partial t}}+\{f,H\}=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}$

여기서 우변은 일반적으로 적분항이다. 이는 계에 따라서 다르고, 입자 사이의 상호작용에 의하여 발생한다.

만약 유클리드 공간에서 자유 입자의 충돌을 생각한다면, 상호작용항은 다음과 같다. 양자역학적으로, 2입자 산란 문제가 다음과 같은 산란 행렬을 가진다고 하자.

$S=1+iT$

즉, 충돌 이전 상태가 $|p,k\rangle$, 충돌 이후 상태가 $|p',k'\rangle$일 확률 진폭은 다음과 같다. ($p\neq p'$, $k\neq k'$)

$\langle p',k'|T|p,k\rangle$

또한, 서로 충돌하려는 두 입자의 운동량이 서로 상관되어 있지 않다고 가정하자. 이 가정은 분자 혼돈 가정(分子混沌假定, 영어: molecular chaos assumption) 또는 슈토스찰안자츠(독일어: Stoßzahlansatz, 충돌수 가설 풀이)라고 한다.

분자 혼돈을 가정하면, 상호작용항은 다음과 같이 쓸 수 있다.^:62

$\left({\frac {\partial f(t,x,p)}{\partial t}}\right)_{\text{coll}}=\int dk\,dp'\,dk'\,\delta (p+k-p'-k')|\langle p',k'|T|p,k\rangle |^{2}$

참고 문헌

• Murthy, K. P. N. “Ludwig Boltzmann, Transport Equation and the Second Law” (영어). arXiv:cond-mat/0601566. 
• Pathria, Raj K.; Paul D. Beale (2011년 2월). 《Statistical mechanics》 (영어) 3판. Academic Press. doi:10.1016/B978-0-12-382188-1.00020-7. ISBN 978-0-12-382188-1.  CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

외부 링크

• Bressan, Alberto (2005). “Notes on the Boltzmann equation” (PDF) (영어). 2013년 6월 10일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2014년 4월 6일에 확인함.