바인가르텐 공식 (Weingarten's formulae, -公式) 또는 바인가르텐 방정식 (Weingarten's equations)은 미분기하학 에서 사용되는 공식으로, 곡면 의 단위 법벡터 N을 특정한 방향으로 주어진 위치벡터 의 일계 도함수 로 전개하기 위해 사용된다. 독일 수학자 율리우스 바인가르텐 (Julius Weingarten)이 1861년 제출하였다.
공식화 [ 편집 ] S 를 위치벡터 r (u , v )에 의해 매개변수화 된 3차원 유클리드 공간 의 곡면 이라 하자. 이 곡면 위의 어떤 고정된 점 P = P (u , v )에 대하여, P 에서의 접벡터들은,
r
u
=
∂
r
∂
u
,
r
v
=
∂
r
∂
v
{\displaystyle \mathbf {r} _{u}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}},\quad \mathbf {r} _{v}={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}}
로 주어진다. 이제 n 을 곡면의 단위 법벡터, (E , F , G )와 (L , M , N )를 곡면의 제1 기본 형식 과 제2 기본 형식 의 계수들이라 하자. 그러면, 바인가르텐 공식은 다음과 같이 주어진다.[1]
n
u
=
F
M
−
G
L
E
G
−
F
2
r
u
+
F
L
−
E
M
E
G
−
F
2
r
v
{\displaystyle \mathbf {n} _{u}={\frac {FM-GL}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FL-EM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}}
n
v
=
F
N
−
G
M
E
G
−
F
2
r
u
+
F
M
−
E
N
E
G
−
F
2
r
v
{\displaystyle \mathbf {n} _{v}={\frac {FN-GM}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{u}+{\frac {FM-EN}{EG-F^{2}}}\mathbf {r} _{v}}
일반적으로,
n
u
=
A
r
u
+
B
r
v
{\displaystyle \mathbf {n} _{u}=A\mathbf {r} _{u}+B\mathbf {r} _{v}}
n
v
=
C
r
u
+
D
r
v
{\displaystyle \mathbf {n} _{v}=C\mathbf {r} _{u}+D\mathbf {r} _{v}}
와 같이 쓸 수 있다. 정의에 따라서,
−
L
=
r
u
⋅
n
u
=
A
E
+
B
F
{\displaystyle -L=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {n} _{u}=AE+BF}
−
M
=
r
v
⋅
n
u
=
A
F
+
B
G
{\displaystyle -M=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {n} _{u}=AF+BG}
−
M
=
r
u
⋅
n
v
=
C
E
+
D
F
{\displaystyle -M=\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {n} _{v}=CE+DF}
−
N
=
r
v
⋅
n
v
=
C
F
+
D
G
{\displaystyle -N=\mathbf {r} _{v}\cdot \mathbf {n} _{v}=CF+DG}
를 얻는데, 이는 A, B, C, D에 대한 사원 일차 연립방정식 이 된다. 이를 풀어 계수 A, B, C, D를 구하면 바인가르텐 공식을 얻는다.[1]
↑ 가 나 Martin Lipschutz, 전재복 역, 《미분기하학개론》, 경문사, 2008, 339-341쪽.
