바이첸뵈크 부등식 기하학 에서 바이첸뵈크 부등식 (영어 : Weitzenböck’s inequality )은 삼각형의 세 변의 길이의 제곱의 합과 넓이 사이에 성립하는 부등식이다.
삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
S
{\displaystyle S}
바이첸뵈크 부등식 이라고 한다.[1] :104, §10.2
a
2
+
b
2
+
c
2
≥
4
3
S
{\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 4{\sqrt {3}}S}
등호가 성립될 필요 충분 조건은 정삼각형 이다.
사실
a
2
+
b
2
+
c
2
4
S
{\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}+c^{2}}{4S}}}
는 삼각형
A
B
C
{\displaystyle ABC}
브로카르 각 의 코탄젠트 값과 같다. 따라서 바이첸뵈크 부등식은 모든 삼각형의 브로카르 각이
30
∘
{\displaystyle 30^{\circ }}
30
∘
{\displaystyle 30^{\circ }}
증명 1 [ 편집 ] 헤론의 공식
S
=
(
a
+
b
+
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
4
{\displaystyle S={\frac {\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)}}{4}}}
에 따라 다음과 같이 증명할 수 있다.
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
(
4
3
S
)
2
=
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
3
(
a
+
b
+
c
)
(
b
+
c
−
a
)
(
a
−
b
+
c
)
(
a
+
b
−
c
)
=
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
+
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
3
(
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
)
=
4
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
−
4
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
=
2
(
(
a
2
−
b
2
)
2
+
(
a
2
−
c
2
)
2
+
(
b
2
−
c
2
)
2
)
≥
0
{\displaystyle {\begin{aligned}(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-(4{\sqrt {3}}S)^{2}&=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-3(a+b+c)(b+c-a)(a-b+c)(a+b-c)\\&=(a^{4}+b^{4}+c^{4})+2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-3(2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4}))\\&=4(a^{4}+b^{4}+c^{4})-4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})\\&=2((a^{2}-b^{2})^{2}+(a^{2}-c^{2})^{2}+(b^{2}-c^{2})^{2})\\&\geq 0\end{aligned}}}
마지막 부등식에서 등식이 성립할 필요 충분 조건은
a
=
b
=
c
{\displaystyle a=b=c}
증명 2 [ 편집 ] 편의상
A
≤
B
≤
C
{\displaystyle A\leq B\leq C}
C
{\displaystyle C}
A
B
{\displaystyle AB}
D
{\displaystyle D}
피타고라스 정리 에 따라
a
2
+
b
2
+
c
2
=
(
c
−
A
D
)
2
+
C
D
2
+
A
D
2
+
C
D
2
+
c
2
=
2
(
A
D
2
+
c
2
−
A
D
⋅
c
+
C
D
2
)
=
2
(
(
A
D
−
c
2
)
2
+
(
3
2
c
−
C
D
)
2
+
3
c
⋅
C
D
)
≥
2
3
c
⋅
C
D
=
4
3
S
{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}+b^{2}+c^{2}&=(c-AD)^{2}+CD^{2}+AD^{2}+CD^{2}+c^{2}\\&=2(AD^{2}+c^{2}-AD\cdot c+CD^{2})\\&=2\left(\left(AD-{\frac {c}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}c-CD\right)^{2}+{\sqrt {3}}c\cdot CD\right)\\&\geq 2{\sqrt {3}}c\cdot CD\\&=4{\sqrt {3}}S\end{aligned}}}
등식이 성립할 필요 충분 조건은
A
D
=
c
2
{\displaystyle AD={\frac {c}{2}}}
3
2
c
=
C
D
{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}c=CD}
이며, 이는 정삼각형과 동치이다.
오스트리아 의 수학자 롤란트 바이첸뵈크(독일어 : Roland Weitzenböck )의 이름을 땄다.
↑ Honsberger, Ross (1995). 《Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry》. New Mathematical Library (영어) 37 . Washington: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-639-5
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