모멘트 문제

해석학에서, 모멘트 문제(moment問題, 영어: moment problem)는 어떤 값들이 분포의 모멘트가 될 수 있는지 및 모멘트로부터 분포를 재구성할 수 있는지 여부에 대한 문제이다.

정의

어떤 측도 공간 $X$ 위에, 일련의 적분 가능 함수들의 집합 $\{u_{i}\}_{i\in I}\in L^{1}(X)$이 주어졌다고 하자. 그렇다면 모멘트 문제는 다음과 같은 일련의 문제들이다.

• (존재 문제) 임의의 수열 $\{m_{i}\}_{i\in I}$에 대하여, $\int _{X}u_{i}f=m_{i}\,\forall i\in I$인 $f$가 존재하는가?
• (유일성 문제) 임의의 수열 $\{m_{i}\}_{i\in I}$에 대하여, $\int _{X}u_{i}f=m_{i}\,\forall i\in I$인 $f$가 유일한가? 아니면, 이러한 $f$의 공간이 어떤 모양인가?

고전적 모멘트 문제

다음과 같은 특별한 모멘트 문제들은 이름이 붙어 있다.

• 함부르거 모멘트 문제(영어: Hamburger moment problem)는 $X=\mathbb {R}$이며 $u_{i}=x^{i}\qquad (i=0,1,2,\dots )$인 경우이다.
• 스틸티어스 모멘트 문제(영어: Stieltjes moment problem)는 $X=[0,\infty )$이며 $u_{i}=x^{i}\qquad (i=0,1,2,\dots )$인 경우이다.
• 하우스도르프 모멘트 문제(영어: Hausdorff moment problem)는 $X=[0,1]$이며 $u_{i}=x^{i}\qquad (i=0,1,2,\dots )$인 경우이다.

함부르거 문제

함부르거 모멘트 문제의 해는 다음과 같다.

존재 문제의 경우, 수열 $m_{i}$가 모멘트를 이룰 필요충분조건은 항켈 행렬의 열

$(H_{n})_{ij}=m_{i+j}\qquad (0\leq i,j\leq n-1)$

가 모든 $n$에 대하여 양의 준정부호이어야 한다는 것이다.

유일성 문제의 경우는 복잡하며, 칼레만 조건(영어: Carleman’s condition) 및 크레인 조건(영어: Krein’s condition)이라는 충분 조건이 알려져 있다.

칼레만 조건에 따르면, 만약 모멘트 $m_{i}$가

$\sum _{i=1}^{\infty }m_{2i}^{-1/2i}=+\infty$

라면, 모멘트 $m_{i}$에 대응하는 측도는 유일하다. 특히, 만약 짝수 차수 모멘트가

$m_{2i}\in {\mathcal {O}}((2i)!)$

이라면, 모멘트에 대응하는 측도는 유일하다.

크레인 조건에 따르면, 만약 모멘트 $m_{i}$를 갖는 함수 $f$가

$\int _{-\infty }^{\infty }-{\frac {\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx<\infty$

를 만족시킨다면, 모멘트 $m_{i}$에 대응하는 측도는 유일하지 않다.

스틸티어스 문제

스틸티어스 모멘트 문제에서, 수열 $m_{i}$가 주어졌을 때 행렬

$\Delta _{n}={\begin{pmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n}&m_{n+1}&m_{n+2}&\cdots &m_{2n}\end{pmatrix}}$

$\Delta _{n}^{(1)}={\begin{pmatrix}m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots &m_{n+2}\\m_{3}&m_{4}&m_{5}&\cdots &m_{n+3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n+1}&m_{n+2}&m_{n+3}&\cdots &m_{2n+1}\end{pmatrix}}$

을 정의하자. 그렇다면, 다음이 성립한다.

• $m_{n}$이 어떤 분포의 모멘트를 이룰 필요충분조건은 모든 $n$에 대하여 $\det \Delta _{n}>0$이며 $\det \Delta _{n}^{(1)}>0$인 것이다.

유일성에 대하여, 여러 충분 조건이 존재한다. 함부르거 문제와 마찬가지로, 칼레만 조건에 따르면, 만약 모멘트 $m_{i}$가

$\sum _{i=1}^{\infty }m_{i}^{-1/2i}=+\infty$

라면, 모멘트 $m_{i}$에 대응하는 측도는 유일하다.

크레인 조건에 따르면, 만약 모멘트 $m_{i}$를 갖는 함수 $f$가

$\int _{0}^{\infty }-{\frac {{\sqrt {x}}\ln f(x)}{1+x}}\,dx<\infty$

를 만족시킨다면, 모멘트 $m_{i}$에 대응하는 측도는 유일하지 않다.

하우스도르프 문제

하우스도르프 모멘트 문제의 경우, 존재와 유일성은 다음과 같다.

수열 $m_{i}$가 어떤 측도의 모멘트일 필요충분조건은 모든 $n,k\geq 0$에 대하여

$(-1)^{k}(\Delta ^{k}m)_{n}\geq 0$

인 것이다. 여기서 $\Delta$는 수열의 차 연산자

$(\Delta m)_{i}=m_{i+1}-m_{i}$

이다.

모멘트가 주어지면 스톤-바이어슈트라스 정리에 의하여 이에 대응하는 분포는 유일하다.

체비쇼프-마르코프-크레인 부등식

체비쇼프-마르코프-크레인 부등식(영어: Chebyshev–Markov–Krein inequality)은 모멘트가 알려져 있는 함수 또는 측도의 적분의 최솟값 및 최댓값을 제시하는 정리이다.

$X$가 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하고, $\mu$가 $K$ 위의 측도이며, $\mu (x)<\infty$라고 하자. $U\subset {\mathcal {C}}(K;\mathbb {R} )$가 임의의 유한 차원 실수 벡터 공간이라고 하자. 또한, $U$가 모든 $x\in X$에 대하여 $f(x)>0$인 함수 $f$를 적어도 한 개 포함한다고 하자.

$V(U,\mu )$가

$\int _{X}u\,d\mu =\int _{X}u\,d\nu \qquad \forall u\in U$

$\nu (X)<\infty$

인 측도 $\nu$들의 집합이라고 하자.

임의의 $f\in L^{1}(X,\mu ;\mathbb {R} )$에 대하여, 체비쇼프-마르코프-크레인 부등식은

$\left\{\nu \in V(U,\mu )\colon \int _{X}f\,d\nu \right\}$

의 상한과 하한에 대한 부등식이다.

이 경우, 다음이 성립한다.

$\inf _{\nu \in V(U,\mu )}\int _{X}f\,d\nu =\sup _{u\in U,\,u\leq f}\int _{X}u\,d\mu$

따라서, $\{\nu \in V(U,\mu )\colon \int _{X}f\,d\nu \}$의 상한·하한을 찾는 문제는

$\{\|u-f\|_{1}\colon u\in U\}$

의 최솟값을 찾는 문제와 동치이다. 임의의 $u_{0}\in U$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $u_{0}$는 위 최솟값을 포화시키며, 모든 $x\in X$에 대하여 $u_{0}(x)\leq f(x)$이다.
• 다음 두 조건을 만족시키는 $x_{1},\dots ,x_{k}\in X$ 및 양의 실수 $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\in \mathbb {R} ^{+}$가 존재한다 ($1\leq k\leq \dim U$).
  • $f(x_{i})=u_{0}(x_{i})\qquad \forall i=1,\dots ,k$
  • $\textstyle \int _{X}u\,d\mu =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}u(x_{i})\qquad \forall u\in U$

이러한 $\{(x_{i},\lambda _{i})\}_{i=1,\dots ,k}$를 찾았을 때, 다음이 성립한다.

$\inf _{v\in V(U,\mu )}\int _{X}f\,d\nu =\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}f(x_{i})$

또한, 이 하한을 포화시키는 측도 $\nu$는 다음과 같다.

$\nu _{\min }=\sum _{i=1}^{k}\lambda _{i}\delta _{x_{i}}$

여기서 $\delta _{x}$는 $x\in X$에서의 디랙 델타 측도이다. 즉,

$\delta _{x}(A)={\begin{cases}1&x\in A\\0&x\not \in A\end{cases}}$

이다.

마찬가지로, 상한을 찾으려면 $\int _{X}-f\,d\nu$의 하한을 찾으면 된다.

구간 위의 모멘트 문제

닫힌구간 $[a,b]$ 위의 모멘트 문제를 생각하자. 만약 유한 차원 벡터 부분 공간 $T\subset {\mathcal {C}}^{0}([a,b];\mathbb {R} )$에 대하여, 임의의 $u\in T\setminus \{0\}$에 대하여 $u$가 $n$개 미만의 영점들을 갖는다면, $T$를 체비쇼프 공간(영어: Chebyshev space, T-space)이라고 하며, 그 기저를 체비쇼프 계(영어: Chebyshev system, 영어: T-system)라고 한다.

$[a,b]$ 위의 체비쇼프 공간 $T$가 주어졌다고 하자. $[a,b]$ 위의 유한 측도 $\mu$가, 임의의 $u\in T\setminus \{0\}$에 대하여 만약 $u(x)\geq 0\forall x\in [a,b]$이면 $\int u\,d\mu >0$이라고 하자. 그렇다면, $\mu$에 대하여,

$\int _{a}^{b}u\,d\mu =\int _{a}^{b}u\,d\nu \qquad \forall u\in T$

이며

$\nu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\delta (x_{i})\qquad (a\leq x_{1}<x_{2}<\cdots x_{n}\leq b)$

인 꼴의 측도 $\nu$가 정확히 두 개 존재하며, 두 개 가운데 하나는 $x_{n}=b$를 갖는다. 이를 $\mu _{\pm }$이라고 하며, $\mu$의 상·하 주표현(영어: upper/lower principal representation)이라고 한다. 임의의 $[a,b]$ 위의 유한 측도 $\nu \in V(U,\mu )$에 대하여, 항상 다음과 같은 부등식이 성립한다.

$\int _{a}^{b}f\,d\mu _{-}\leq \int _{a}^{b}f\,d\mu \leq \int _{a}^{b}f\,d\mu _{+}$

즉, 상·하 주표현들은 체비쇼프 공간에 대한 모멘트 문제의 상·하한을 이룬다.

예

실수선 위의 함수

$f(x)=\exp(-(\ln x)^{2})$

를 생각하자. 이 함수의 모멘트는 모두 유한하다.

$\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,dx={\begin{cases}2e^{(n+1)^{2}/4}{\sqrt {\pi }}&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}}$

그러나 크레인 조건에 따라

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {-\ln f(x)}{1+x^{2}}}\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {(\ln x)^{2}}{1+x^{2}}}\,dx=\pi ^{3}/4<\infty$

이므로, 이 함부르거 모멘트 문제는 유일하지 않다. 반대로, 칼레만 조건을 적용한다면, 짝수 차수 모멘트들은

$m_{2n}\sim \exp(n^{2})\gg (2n)!\sim \exp \left(2n\ln n+\cdots \right)$

이므로, 칼레만 조건을 통해 유일성을 보일 수 없다.

참고 문헌

• Pinkus, A.; J.M. Quesada (2012). “On Chebyshev–Markov–Krein inequalities” (PDF). 《Journal of Approximation Theory》 (영어) 164: 1262–1282. doi:10.1016/j.jat.2012.06.001. 2013년 10월 21일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2015년 3월 2일에 확인함. 
• Simon, Barry (1998년 7월 15일). “The classical moment problem as a self-adjoint finite difference operator”. 《Advances in Mathematics》 (영어) 137 (1): 82–203. arXiv:math-ph/9906008. Bibcode:1999math.ph...6008S. doi:10.1006/aima.1998.1728. ISSN 0001-8708. Zbl 0910.44004. 

외부 링크

• “Moment problem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.