추적선: 두 판 사이의 차이

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2024년 4월 18일 (목) 01:15 판

점을 수평선의 왼쪽에서부터 오른쪽으로 이동시키면 점과 선분으로 연결된 물체의 자취는 추적선이 된다.

기하학에서, 추적선(追跡線, 영어: tractrix)이란 마찰이 있는 상황에서 어떤 점을 수평선을 따라 이동시킬 때 점과 선분으로 연결된 물체가 남기는 경로이다.

추적선은 1670년에 클로드 페로가 처음 언급했으며 이후 아이작 뉴턴(1676)과 크리스티안 하위헌스(1693)가 연구하였다.^[1]

정의

y축 위에서 이동하는 점과 길이가 4인 선분으로 연결된 물체가 그리는 추적선

물체의 처음 위치가 $(a, 0)$ 이고(그림에서는 $(4, 0)$ ), 물체와 선분으로 연결된 점이 원점에서 출발해 y축 방향으로 움직인다고 하자. 이때 물체가 이동하는 경로인 추적선은 다음의 식으로 표현된다. $y=\pm \!\left(a\ln {\frac {a+{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}{x}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}\right)=\pm \!\left(a\operatorname {arsech} {\frac {x}{a}}-{\sqrt {a^{2}-x^{2}}})\right.$ 마지막 식에서 맨 앞의 부호는 점이 y축의 +방향으로 이동하는지, 아니면 -방향으로 이동하는지에 따라 결정된다.

식은 다음과 같은 방법으로 유도된다. 매 순간마다, 점과 물체를 잇는 선분의 기울기는 물체의 해당 위치에서 추적선 $y = y (x)$ 의 기울기와 같다. 즉 물체가 좌표평면 상에서 $(x, y)$ 에 위치할 때, 피타고라스의 정리에 의해 y좌표에서 이동하는 점의 좌표는 $y+\operatorname {sign} (y){\sqrt {a^{2}-x^{2}}}$ 이다. 추적선은 $y (x)$ 는 다음의 미분방정식을 만족한다.

{\frac {dy}{dx}}=\pm {\frac {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}{x}}

이때 곡선은 초기 조건인 $y (a) = 0$ 을 만족해야 한다. 따라서 주어진 미분방정식을 풀면 추적선의 해는

$y=\int _{x}^{a}{\frac {\sqrt {a^{2}-t^{2}}}{t}}\,dt$

가 되고, 이를 풀면 위의 식이 도출된다.

성질

추적선은 $x=t-\tanh(t),y=1/{\cosh(t)}$ 으로 매개화된다.^[2]
추적선의 정의에 따라, 추적선 위의 점과 그 점에서의 접선이 점근선과 만나는 점까지의 거리는 일정하다.
추적선의 꺾이지 않는 연속적인 구간 내에서, $x = x 1$ 과 $x = x 2$ 사이의 곡선의 길이는 $a ln x 1 / x 2$ 이다.
추적선과 점근선 사이 영역의 넓이는 $π a 2 / 2$ 이다.
추적선의 축폐선은 현수선이다. 즉 추적선은 현수선의 신개선이다. 이때 현수선의 식은 $y = a cosh x / a$ 이다.
추적선은 초월함수의 곡선이다. 즉 곡선은 다항함수로는 표현 불가능하다.
추적선을 점근선에 대해 회전하면 유사구가 된다.

각주

↑ Stillwell, John (2010). 《Mathematics and Its History》 revis, 3판. Springer Science & Business Media. 345쪽. ISBN 978-1-4419-6052-8. , extract of page 345
↑ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Tractrix”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.

참고 문헌

Kasner, Edward; Newman, James (1940). 《Mathematics and the Imagination》. Simon & Schuster. 141–143쪽.
Lawrence, J. Dennis (1972). 《A Catalog of Special Plane Curves》. Dover Publications. 5, 199쪽. ISBN 0-486-60288-5.

같이 보기

외부 링크

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추적선

O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Tractrix”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.
“Tractrix”. 《PlanetMath》 (영어).
“Famous curves on the plane.”. 《PlanetMath》 (영어).

[1] Stillwell, John (2010). 《Mathematics and Its History》 revis, 3판. Springer Science & Business Media. 345쪽. ISBN 978-1-4419-6052-8. , extract of page 345

[2] O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Tractrix”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.

[1]

[2]

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 {{위키데이터 속성 추적}}
-[[파일:Tractrixtry.gif|섬네일|500px|왼쪽 끝에서 오른쪽 끝까지 끌어당기거나 밀어서 생기는 추적선]]
+[[파일:Tractrixtry.gif|섬네일|500px|점을 수평선의 왼쪽에서부터 오른쪽으로 이동시키면 점과 선분으로 연결된 물체의 자취는 추적선이 된다.]]
+[[기하학]]에서, '''추적선'''(追跡線, {{llang|en|tractrix}})이란 마찰이 있는 상황에서 어떤 점을 수평선을 따라 이동시킬 때 점과 선분으로 연결된 물체가 남기는 경로이다.
-[[파일:Tractrix.png|섬네일|180px|{{math|(4,0)}}에서 시작하는 추적선]]
+추적선은 1670년에 [[클로드 페로]]가 처음 언급했으며 이후 [[아이작 뉴턴]](1676)과 [[크리스티안 하위헌스]](1693)가 연구하였다.<ref>{{cite book |title=Mathematics and Its History |edition=revised, 3rd |first1=John |last1=Stillwell |publisher=Springer Science & Business Media |year=2010 |isbn=978-1-4419-6052-8 |page=345 |url=https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC}}, [https://books.google.com/books?id=V7mxZqjs5yUC&pg=PA345 extract of page 345]</ref>
-'''추적선'''(追跡線, tractrix)은 마찰이 있을 때 어떤 직선을 따라 무한소의 힘을 가지고 그 직선위의 한 점과 선분으로 연결된 점을 직선을 따라서 잡아당길때 선분의 반대쪽 끝이 이루는 자취이다. [[현수선]]의 [[신개선]]이며 추적선의 [[축폐선]]은 [[현수선]]이다. 추적선을 [[점근선]]에 대해 회전하면 [[유사구]]가 된다.
+== 정의 ==
+[[파일:Tractrix.png|섬네일|180px|y축 위에서 이동하는 점과 길이가 4인 선분으로 연결된 물체가 그리는 추적선]]
+물체의 처음 위치가 {{math|(''a'', 0)}}이고(그림에서는 {{math|(4, 0)}}), 물체와 선분으로 연결된 점이 원점에서 출발해 y축 방향으로 움직인다고 하자. 이때 물체가 이동하는 경로인 추적선은 다음의 식으로 표현된다.<math>y = \pm\! \left( a\ln{\frac{a+\sqrt{a^2-x^2}}{x}}-\sqrt{a^2-x^2} \right)=\pm\! \left(a \operatorname{arsech}\frac{x}{a}-\sqrt{a^2-x^2})\right.</math>마지막 식에서 맨 앞의 부호는 점이 y축의 +방향으로 이동하는지, 아니면 -방향으로 이동하는지에 따라 결정된다.
+식은 다음과 같은 방법으로 유도된다. 매 순간마다, 점과 물체를 잇는 선분의 [[기울기]]는 물체의 해당 위치에서 추적선 {{math|1=''y'' = ''y''(''x'')}}의 기울기와 같다. 즉 물체가 좌표평면 상에서 {{math|(''x'', ''y'')}}에 위치할 때, [[피타고라스의 정리]]에 의해 y좌표에서 이동하는 점의 좌표는 <math>y + \operatorname{sign}(y)\sqrt{a^2 - x^2}</math>이다. 추적선은 {{math|''y''(''x'')}}는 다음의 [[미분방정식]]을 만족한다.
+:<math>\frac{dy}{dx} = \pm\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{x}</math>
+이때 곡선은 초기 조건인 {{math|1=''y''(''a'') = 0}}을 만족해야 한다. 따라서 주어진 미분방정식을 풀면 추적선의 해는
+<math>y = \int_x^a \frac{\sqrt{a^2-t^2}}{t}\,dt</math>
+가 되고, 이를 풀면 위의 식이 도출된다.
+== 성질 ==
+[[Image:Evolute2.gif|thumb|500px|right|[[현수선]]은 추적선의 [[축폐선]]이다. 즉 현수선의 [[신개선]]은 추적선이다.]]
+* 추적선은 <math>x = t - \tanh(t), y= 1/{\cosh(t)}</math>으로 매개화된다.<ref>{{MacTutor|class=Curves|id=Tractrix|title=Tractrix}}</ref>
+* 추적선의 정의에 따라, 추적선 위의 점과 그 점에서의 [[접선]]이 [[점근선]]과 만나는 점까지의 거리는 일정하다.
+* 추적선의 꺾이지 않는 연속적인 구간 내에서, {{math|1=''x'' = ''x''<sub>1</sub>}}과 {{math|1=''x'' = ''x''<sub>2</sub>}} 사이의 [[곡선의 길이]]는 {{math|''a''&thinsp;ln&thinsp;{{sfrac|''x''<sub>1</sub>|''x''<sub>2</sub>}}}}이다.
+* 추적선과 점근선 사이 영역의 넓이는 {{math|{{sfrac|π&hairsp;''a''<sup>2</sup>|2}}}}이다.
+* 추적선의 [[축폐선]]은 [[현수선]]이다. 즉 추적선은 [[현수선]]의 [[신개선]]이다. 이때 현수선의 식은 {{math|1=''y'' = ''a'' cosh&thinsp;{{sfrac|''x''|''a''}}}}이다.
+* 추적선은 [[초월함수]]의 곡선이다. 즉 곡선은 [[다항함수]]로는 표현 불가능하다.
+* 추적선을 점근선에 대해 회전하면 [[유사구]]가 된다.
+== 각주 ==
+{{각주}}
+== 참고 문헌 ==
+* {{책 인용|first1=Edward|last1=Kasner|first2=James|last2=Newman|date=1940|title=Mathematics and the Imagination|page=[https://archive.org/details/mathematicsimagi00kasnrich/page/141 141–143]|publisher=Simon & Schuster}}
+* {{책 인용| first=J. Dennis | last=Lawrence | title=A Catalog of Special Plane Curves | publisher=Dover Publications | year=1972 | isbn=0-486-60288-5 | pages=[https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/5 5, 199] | url-access=registration | url=https://archive.org/details/catalogofspecial00lawr/page/5 }}
+== 같이 보기 ==
+* [[현수선]]
+* [[신개선]]
+* [[쌍곡선 함수]]
+* [[유사구]]
 == 외부 링크 ==
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 {{전거 통제}}
-{{토막글|수학}}
-[[분류:곡선]]
 [[분류:평면 곡선]]