베르트랑의 역설 (확률)

확률론에서 베르트랑의 역설은 확률의 고전적 정의에 관한 난제이다. 조제프 베르트랑이 그의 저서 Calcul des probabilités (확률론) 에서 제안했다. 그 내용은 다음과 같다.

원에 내접하는 정삼각형을 그리고 원에서 임의의 현을 선택할 때, 현의 길이가 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률은?

베르트랑은 동 저서에서 3가지의 결과값이 다른 해법을 소개했다. 베르트랑은 저서에서 확률 영역이 무한대일 때 무비판적으로 무차별성의 원칙을 적용한다면 확률이 명확하고 잘 정의된 결과를 도출하지 못한다는 예시로 이를 언급하였다.

세가지 해법

첫 번째

1번 해법의 경우. 삼각형의 한 변보다 긴 현은 빨강, 짧은 현은 파랑으로 그려져 있다.

현의 종점을 무작위로 놓는(random endpoint) 해법이다. 오른쪽 그림과 같이 현의 시작점을 삼각형의 한 꼭짓점으로 하자. 이 경우 현이 삼각형의 한 변보다 길어지기 위해서는 시작점의 반대쪽에 있는 변을 지나야 한다. 이 조건을 만족하기 위해서는 현과 시작점에서의 원의 접선이 이루는 각도가 60~120도가 되어야 한다. 현을 정의할 수 있는 각도는 0~180도 이므로 그래서 60/180 = 1/3.

두 번째

2번 해법의 경우. 삼각형의 한 변보다 긴 현은 빨강, 짧은 현은 파랑으로 그려져 있다.

현과 원의 중심 사이의 거리를 무작위로 놓는(random radius) 해법이다. 오른쪽 그림과 같이 삼각형의 한 변과 평행한 현을 생각하자. 이 경우 현이 변보다 안쪽에 있어야 변보다 길어질 수 있다. 원의 내접 정삼각형의 변은 반지름을 이등분하므로 1/2.

세 번째

3번 해법의 경우. 내접원을 지나는 현은 빨강, 그렇지 않은 현은 파랑으로 그려져 있다.

현의 중점을 무작위로 놓는(random midpoint) 해법이다. 삼각형에 내접하는 원을 그리고, 바깥쪽 원에 임의의 현을 하나 놓는다. 삼각형의 한 변의 길이보다 긴 현은 안쪽 원을 지나며 현의 중점은 안쪽 원 안에 있다. 즉 현의 중점이 안쪽 원에 놓일 확률을 구하면 된다. 안쪽 원의 반지름은 바깥쪽 원의 반이므로 넓이는 4배 차이가 난다. 1/4.

고전적 해법

이 역설의 고전적 해법이자 베르트랑 자신의 저서에서 언급한 문제는 세가지 해법의 요지는 현의 무엇을 '무작위'로 놓는가에 따라 달라진다고 보았다. 아래에 세 해법을 시각화한 그림이 있다.

해법 1에 의해 선택된 현들의 중점	해법 2에 의해 선택된 현들의 중점	해법 3에 의해 선택된 현들의 중점
해법 1에 의해 선택된 현들	해법 2에 의해 선택된 현들	해법 3에 의해 선택된 현들

베르트랑은 무엇을 무작위로 선택하는지 그 방법을 하나로 특정한다면 문제가 하나로 잘 정의된 해결법을 가지게 될 것이라고 주장하였다. 베르트랑이 제시한 3가지 정답은 서로 다른 선택 방법에 해당하며, 추가적인 정보가 없다면 다른 정답을 제치고 특정한 정답을 선호할 이유가 없으므로 위 문제는 고유한 하나의 정답이 없다고 보았다.

실제 실험에서

제인스가 제시한, 멀리 있는 작은 원에 빨대를 던지는 물리 실험과 같은 특정 경우에서 통계역학과 유체역학과 같은 특정 물리계에 존재하는 변환 불변량을 만족하는 방법은 오직 2번째 방법만이 정답으로 인정된다.

하지만 실제 세계에서 실험마저도 다른 선택 방법의 정답을 만족하는 물리 실험을 설계하는 것이 가능하다. 예를 들어 원 중앙에 둘레 위의 한 점을 가리키는 스피너와 같은 회전기를 단 후 서로 다른 두 회전기의 서로 독립된 회전 결과 점을 이은 현을 표시하도록 하면 1번째 방법의 확률이 구해진다. 또한 원 전체를 끈적한 당밀 같은 걸로 덮어버린 후 파리를 날려보내 처음에 원 위에 앉은 점을 현의 중점으로 두도록 계산한다면 3번째 방법의 확률이 구해진다. 여러 연구자들은 서로 다른 확률값을 얻기 위해 실험을 의도적으로 설계해보았고, 실제로 실험을 어떻게 설계하냐에 따라서 확률이 달라짐을 경험적으로 검증하였다.

같이 보기

• 활꼴
• 변심거리

외부 링크

• Cut-the-knot의 베르트랑의 역설 - 베르트랑의 역설에 관한 시뮬레이션을 할 수 있다. (JVM 필요)