베르트랑의 역설 (확률)

위키백과, 우리 모두의 백과사전.
이동: 둘러보기, 검색

베르트랑의 역설확률의 고전적 정의에 관한 난제이다. 조제프 베르트랑이 그의 저서 Calcul des probabilités (확률론) 에서 제안했다. 그 내용은 다음과 같다.

내접하는 정삼각형을 그리고 원에서 임의의 을 선택할 때, 현의 길이가 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률은?

베르트랑은 동 저서에서 3가지의 결과값이 다른 해법을 소개했다.

세가지 해법[편집]

첫 번째[편집]

Bertrand1-figure.svg

현의 종점을 무작위로 놓는 (random endpoint) 해법이다. 오른쪽 그림과 같이 현의 시작점을 삼각형의 한 꼭지점으로 하자. 이 경우 현이 삼각형의 한 변보다 길어지기 위해서는 시작점의 반대쪽에 있는 변을 지나야 한다. 이 조건을 만족하기 위해서는 현과 시작점에서의 원의 접선이 이루는 각도가 60~120도가 되어야 한다. 현을 정의할 수 있는 각도는 0~180도 이므로 그래서 60/180 = 1/3.

두 번째[편집]

Bertrand2-figure.svg

현과 원의 중심 사이의 거리를 무작위로 놓는 (random radius) 해법이다. 오른쪽 그림과 같이 삼각형의 한 변과 평행한 현을 생각하자. 이 경우 현이 변보다 안쪽에 있어야 변보다 길어질 수 있다. 원의 내접 정삼각형의 변은 반지름을 이등분하므로 1/2.

세 번째[편집]

Bertrand3-figure.svg

현의 중점을 무작위로 놓는 (random midpoint) 해법이다. 삼각형에 내접하는 원을 그리고, 바깥쪽 원에 임의의 현을 하나 놓는다. 삼각형의 한 변의 길이보다 긴 현은 안쪽 원을 지나며 현의 중점은 안쪽 원 안에 있다. 즉 현의 중점이 안쪽 원에 놓일 확률을 구하면 된다. 안쪽 원의 반지름은 바깥쪽 원의 반이므로 넓이는 4배 차이가 난다. 1/4.

각 해법의 차이점[편집]

상기 세가지 해법의 요지는 현의 무엇을 ‘무작위’로 놓는가이다. 아래에 세 해법을 시각화한 그림이 있다.

해법 1에 의해 선택된 현들의 중점
해법 2에 의해 선택된 현들의 중점
해법 3에 의해 선택된 현들의 중점
해법 1에 의해 선택된 현들
해법 2에 의해 선택된 현들
해법 3에 의해 선택된 현들

같이 보기[편집]