미분학적 공간: 두 판 사이의 차이
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[[기하학]]에서, '''미분학적 공간'''(微分學的空間, {{llang|en|diffeological space|디피올로지컬 스페이스}})은 [[매끄러운 다양체]]의 개념의 일반화이다. 미분학적 공간과 [[매끄러운 다양체]] 사이의 관계는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[다양체]] 사이의 관계와 유사하며, 미분학적 공간의 “차원”은 국소적으로 바뀔 수도, 잘 정의되지 않을 수도 있다. |
[[기하학]]에서, '''미분학적 공간'''(微分學的空間, {{llang|en|diffeological space|디피올로지컬 스페이스}})은 [[매끄러운 다양체]]의 개념의 일반화이다.<ref>{{서적 인용|이름=Patrick|성=Iglesias-Zemmour|제목=Diffeology |총서=Mathematical Surveys and Monographs|권= 185|출판사= American Mathematical Society|날짜=2013|url=https://bookstore.ams.org/surv-185|언어=en}}</ref> 미분학적 공간과 [[매끄러운 다양체]] 사이의 관계는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]과 [[다양체]] 사이의 관계와 유사하며, 미분학적 공간의 “차원”은 국소적으로 바뀔 수도, 잘 정의되지 않을 수도 있다. |
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미분학적 공간의 개념은 장마리 수리오({{llang|fr|Jean-Marie Souriau}}, 1922〜2012)가 |
미분학적 공간의 개념은 장마리 수리오({{llang|fr|Jean-Marie Souriau}}, 1922〜2012)가 1979년에 도입하였다.<ref>{{저널 인용|이름=Jean-Marie|성=Souriau|장=Groupes différentiels|제목=Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics. Proceedings of the Conferences Held at Aix-en-Provence, September 3–7, 1979 and Salamanca, September 10–14, 1979|doi=10.1007/BFb0089728|총서=Lecture Notes in Mathematics|권= 836|출판사= Springer-Verlag|날짜=1980|쪽=91–128|언어=fr}}</ref> ‘미분학적 공간’({{llang|fr|espace difféologique|에스파스 디페올로지크}})이라는 이름은 {{llang|fr|difféomorphisme|디페오모르피즘}}([[미분 동형 사상]])과 {{llang|fr|espace topologique|에스파스 토폴로지크}}([[위상 공간 (수학)|위상 공간]])의 합성어이다. |
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== 참고 문헌 == |
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* {{서적 인용|이름=Patrick|성=Iglesias-Zemmour|제목=Diffeology |총서=Mathematical Surveys and Monographs|권= 185|출판사= American Mathematical Society|날짜=2013|url=https://bookstore.ams.org/surv-185|언어=en}} |
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2019년 11월 19일 (화) 06:27 판
기하학에서, 미분학적 공간(微分學的空間, 영어: diffeological space 디피올로지컬 스페이스[*])은 매끄러운 다양체의 개념의 일반화이다.[1] 미분학적 공간과 매끄러운 다양체 사이의 관계는 위상 공간과 다양체 사이의 관계와 유사하며, 미분학적 공간의 “차원”은 국소적으로 바뀔 수도, 잘 정의되지 않을 수도 있다.
정의
집합 위의 미분학적 구조(영어: diffeology 디피올로지[*]) 는 다음과 같은 꼴의 순서쌍들의 집합이다.
이는 다음 조건을 만족시켜야 한다.
- 임의의 유클리드 공간 의 열린집합 및 임의의 원소 에 대하여, 값의 상수 함수 는 의 원소이다.
- 임의의 유클리드 공간 의 열린집합 및 임의의 함수 에 대하여, 만약 다음 조건이 성립한다면, 이다.
- 임의의 에 대하여, 인 의 열린 근방 가 존재한다.
- 임의의 및 임의의 및 임의의 매끄러운 함수 에 대하여, 이다.
미분학적 구조를 갖춘 집합을 미분학적 공간이라고 한다.
두 미분학적 공간 , 사이의 매끄러운 함수 는 다음 조건을 만족시키는 함수이다.
- 임의의 에 대하여, 이다.
이를 통해 미분학적 공간의 범주를 정의할 수 있다.
성질
미분학적 공간 위에는 표준적인 위상을 줄 수 있으며, 이 경우 집합이 열린집합일 필요 충분 조건은 다음과 같다.
여기서 은 의 열린집합들의 집합이다. 즉, 이 위상은 모든 함수 들의 연속 함수가 되는 가장 섬세한 위상이다.
연산
미분학적 공간의 부분 집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.
미분학적 공간의 몫집합은 표준적으로 미분학적 공간을 이룬다.
예
모든 차원 매끄러운 다양체 은 미분학적 공간이다. 이 경우 미분학적 구조는 의 열린집합에서 으로 가는 모든 매끄러운 함수들의 집합이다.
1차원 유클리드 공간 의 몫
을 생각하자. 이는 미분학적 공간의 몫이므로 미분학적 공간을 이룬다. 만약 가 유리수라면 이는 원과 동형이지만, 만약 무리수라면 이는 매끄러운 다양체가 아니다. 이 경우, 이는 위상 공간으로서 비이산 공간이나, 이는 자명하지 않은 미분학적 공간이다.
역사
미분학적 공간의 개념은 장마리 수리오(프랑스어: Jean-Marie Souriau, 1922〜2012)가 1979년에 도입하였다.[2] ‘미분학적 공간’(프랑스어: espace difféologique 에스파스 디페올로지크[*])이라는 이름은 프랑스어: difféomorphisme 디페오모르피즘[*](미분 동형 사상)과 프랑스어: espace topologique 에스파스 토폴로지크[*](위상 공간)의 합성어이다.
참고 문헌
- ↑ Iglesias-Zemmour, Patrick (2013). 《Diffeology》. Mathematical Surveys and Monographs (영어) 185. American Mathematical Society.
- ↑ Souriau, Jean-Marie (1980). “Differential Geometrical Methods in Mathematical Physics. Proceedings of the Conferences Held at Aix-en-Provence, September 3–7, 1979 and Salamanca, September 10–14, 1979”. Lecture Notes in Mathematics (프랑스어) 836. Springer-Verlag: 91–128. doi:10.1007/BFb0089728.
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이 무시됨 (도움말)
외부 링크
- “Diffeological space”. 《nLab》 (영어).