함수해석학에서, 모듈러 자기 동형(modular自己同型, 영어: modular automorphism)은 힐베르트 공간의 한 단위 벡터로 정의되는, 폰 노이만 대수의 특별한 자기 동형이다. 이를 사용하여 인자 대수 및 폰 노이만 대수를 분류할 수 있다.
정의
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
- 복소수 힐베르트 공간
![{\displaystyle H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a9edddcca2f782014371f75dca39d7e13a9c1b)
위에 작용하는 폰 노이만 대수 ![{\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq \operatorname {B} (H,H)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c226dcb4eac8ad77499e29323a42895d002d2f4e)
- 다음 두 조건을 만족시키는 단위 벡터
는
의 조밀 집합이다.
,
는 단사 함수이다.
이제, 다음과 같은 실수 선형 변환을 정의하자.
![{\displaystyle S\colon D\to H}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f935529d6f2f2af3e88b557a0c1c4f2a76fd027)
![{\displaystyle SA|v\rangle =A^{*}|v\rangle \qquad \forall A\in {\mathcal {A}},\;|v\rangle \in A^{-1}(D)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d84a92481abe48acca4b04791f1dfd1c90a5c2b5)
이는 복소수 반선형 변환이다.
![{\displaystyle S|\alpha u\rangle ={\bar {\alpha }}S|u\rangle \qquad \forall |u\rangle \in D,\;\alpha \in \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f55f6322aadc8f124ca69140a30f8ccbebc373ea)
정의역
는
의 조밀 집합이다.
의 극분해(영어: polar decomposition)가 다음과 같다고 하자.
![{\displaystyle S=J\Delta ^{1/2}=D^{-1/2}J}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b576a539af96f07c59a409a0a04e6b29978b647a)
, ![{\displaystyle J=J^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a2f1a9e9040a9be5c11269b7052fac80d9d33e)
여기서 스펙트럼 이론을 사용하여, 모든 실수
에 대하여
를 정의할 수 있다.
도미타 정리(영어: Tomita’s theorem)에 따르면, 다음이 성립한다.
![{\displaystyle J|v\rangle =|v\rangle =\Delta |v\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66b551a95726cb6d442c886f040215c2ef4c4439)
![{\displaystyle J{\mathcal {A}}J=\operatorname {C} _{\operatorname {B} (H,H)}({\mathcal {A}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8509380bdcf59f27ac41f41c3a1c4b8ea5cca0c2)
![{\displaystyle \Delta ^{\mathrm {i} t}{\mathcal {A}}\Delta ^{-\mathrm {i} t}={\mathcal {A}}\qquad \forall t\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02140a79d4e3c6f4162a7d4eda3567f2660537df)
이에 따라,
![{\displaystyle \Delta ^{\mathrm {i} t}(-)\Delta ^{-\mathrm {i} t}\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ee29b66800767ebe572175b6ae2a6b6d9322c27)
![{\displaystyle A\mapsto \Delta ^{\mathrm {i} t}A\Delta ^{-\mathrm {i} t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f6b514ccbce9f31f155f91aadcd28a5695cd8a)
는
의 자기 동형을 이룬다. 이를
에 대응하는 모듈러 자기 동형(영어: modular automorphism)이라고 한다.
콘 모듈러 군
임의의 대합환
가 주어졌을 때, 임의의 유니터리 원소
(즉,
인 원소)에 대하여
![{\displaystyle A\mapsto A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9358364106c76c33aecfe50aca23b38b815d48f9)
![{\displaystyle a\mapsto ua^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c6cd651f3f9025158c0628c1bde8c4f06d2f7ef)
는
의 자기 동형을 이룬다. 이는 군 준동형
![{\displaystyle \operatorname {U} (A)\to \operatorname {Aut} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a37c86c4c605e40d1db150030bf1923bd6d5454)
를 정의하며, 따라서 외부 자기 동형군(영어: outer automorphism group)
![{\displaystyle \operatorname {Out} (A)=\operatorname {Aut} (A)/\operatorname {U} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d8774803716143c464d1539a5ef0a96091b08a)
을 정의할 수 있다.
폰 노이만 대수
및 위 조건을 만족시키는 두 단위 벡터
에 대하여, 각각 모듈러 자기 동형을 정의할 수 있다.
![{\displaystyle \Delta ^{\mathrm {i} t}(-)\Delta ^{-\mathrm {i} t}\colon A\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53b246e44eb6c5ea74352677ba043b440c0c20ff)
![{\displaystyle \Delta '^{\mathrm {i} t}(-)\Delta '^{-\mathrm {i} t}\colon A\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc96a4125434a04c751dd8c4cf6d75c401d4370)
이 둘은 일반적으로 서로 다르지만, 같은 외부 자기 동형류를 정의한다. 즉, 이들이 정의하는 군 준동형
![{\displaystyle \delta \colon (\mathbb {R} ,+)\to \operatorname {Out} (A)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b52eace9a003e9199b1d75a377427198fe421bfb)
은 서로 일치한다. 이 군 준동형의 상을 콘 모듈러 군(영어: Connes modular group)이라고 하며, 이는 선택한 단위 벡터에 의존하지 않는, 폰 노이만 대수 고유의 불변량이다.
성질
콘 준동형을 사용하여 폰 노이만 대수를 분류할 수 있다. 구체적으로, 폰 노이만 대수
의 콘 준동형
를 생각하자. 그 핵
는
의 부분군이다. 만약
가 인자 대수라면, 다음이 성립한다.
콘 준동형의 핵 ![{\displaystyle \ker \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05d714fb18106f6355841375fdc920a2196f74df) |
인자 대수 의 분류
|
![{\displaystyle \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/786849c765da7a84dbc3cce43e96aad58a5868dc) |
I종 인자 대수 또는 II종 인자 대수
|
의 조밀 집합 (그러나 전체가 아님) |
III0종 인자 대수
|
무한 순환군 , ![{\displaystyle t\in \mathbb {R} ^{+}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5920e39de7bdde93cbc2cc5f93be3d0b68c32c09) |
IIIa종 인자 대수 ( )
|
자명군 ![{\displaystyle \{0\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ff0df9ef65c0572eb676580ce1c02b8ec40f694) |
III1종 인자 대수
|
역사
도미타-다케사키 이론은 도미타 미노루(冨田 稔, 1924~2015)가 1967년에 도입하였다. 그러나 도미타의 논문은 매우 난해하여 별로 주목받지 못했다. 이후 다케사키 마사미치(竹崎 正道, 1933~)가 1970년에 도미타의 이론을 개량하여 출판하였으며,[1] 이후 학계에서 주목받게 되었다.
이후 알랭 콘이 콘 모듈러 군을 정의하였다.
참고 문헌
바깥 고리