해석적 집합: 두 판 사이의 차이
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
24번째 줄: | 24번째 줄: | ||
=== 분리 정리 === |
=== 분리 정리 === |
||
'''루진-노비코프 분리 정리'''(Лузин-Новиков分離定理, {{llang|en|Lusin–Novikoff separation theorem}})에 따르면, 임의의 [[폴란드 공간]] <math>X</math> 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 <math>\{A_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Sigma^1_1(X)</math>, <math>|I|\le\aleph_0</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}A_i=\varnothing</math>이라면, <math>\forall i\in I\colon B_i\supseteq A_i</math>이자 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}B_i=\varnothing</math>인 [[보렐 집합]]들의 집합족 <math>\{B_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Delta^1_1(X)</math>이 존재한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|219, Theorem 28.5}} |
'''루진-노비코프 분리 정리'''(Лузин-Новиков分離定理, {{llang|en|Lusin–Novikoff separation theorem}})에 따르면, 임의의 [[폴란드 공간]] <math>X</math> 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 <math>\{A_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Sigma^1_1(X)</math>, <math>|I|\le\aleph_0</math>에 대하여, 만약 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}A_i=\varnothing</math>이라면, <math>\forall i\in I\colon B_i\supseteq A_i</math>이자 <math>\textstyle\bigcap_{i\in I}B_i=\varnothing</math>인 [[보렐 집합]]들의 집합족 <math>\{B_i\}_{i\in I}\subseteq\boldsymbol\Delta^1_1(X)</math>이 존재한다.<ref name="Kechris"/>{{rp|219, Theorem 28.5}}<ref name="Srivastava">{{서적 인용 | last=Srivastava| first=Shashi Mohan | title=A course on Borel sets | 날짜=1991 | publisher=Springer-Verlag | isbn=978-3-642-85475-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|doi=10.1007/978-3-642-85473-6|권=180|zbl=0903.28001|mr=1619545|언어=en}}</ref>{{rp|155, Theorem 4.6.1}} |
||
=== 실수의 해석적 집합 === |
=== 실수의 해석적 집합 === |
2016년 8월 27일 (토) 18:11 판
기술 집합론(영어: descriptive set theory)에서, 해석적 집합(解析的集合, 영어: analytic set)은 폴란드 공간의 연속적 상인 폴란드 공간 부분 공간이다.
정의
폴란드 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 조건을 만족시키는 부분 집합을 해석적 집합이라고 한다.
- 인 폴란드 공간 및 연속 함수 가 존재한다.[1]:85, Definition 14.1
- 는 공집합이거나, 아니면 인 연속 함수 가 존재한다.
- 인 폴란드 공간 및 보렐 집합 및 연속 함수 가 존재한다.
- 인 폴란드 공간 및 보렐 집합 가 존재한다.[1]:86, Exercise 14.3(ii)
- 인 닫힌집합 가 존재한다.[1]:86, Exercise 14.3(iii)
- 인 Gδ 집합 가 존재한다.[1]:86, Exercise 14.3(iv)
의 해석적 집합들의 족은 로 표기한다. (여기서 첨자들은 사영 위계의 일부이기 때문이다.)
성질
연산에 대한 닫힘
해석적 집합들은 다음 연산들에 대하여 닫혀 있다.
- 폴란드 공간 속에서 가산 개의 해석적 집합들의 합집합은 해석적 집합이다.[1]:86, Proposition 14.4
- 폴란드 공간 속에서가산 개의 해석적 집합들의 교집합은 해석적 집합이다.[1]:86, Proposition 14.4
- 두 폴란드 공간 , 사이의 보렐 가측 함수 및 해석적 집합 에 대하여, 그 상 역시 해석적 집합이다.
- 두 폴란드 공간 , 사이의 보렐 가측 함수 및 해석적 집합 에 대하여, 그 원상 역시 해석적 집합이다.
폴란드 공간 의 부분 집합 에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
- 는 보렐 집합이다.
- 와 둘 다 해석적 집합이다.
분리 정리
루진-노비코프 분리 정리(Лузин-Новиков分離定理, 영어: Lusin–Novikoff separation theorem)에 따르면, 임의의 폴란드 공간 속의 가산 개의 해석적 집합들의 집합족 , 에 대하여, 만약 이라면, 이자 인 보렐 집합들의 집합족 이 존재한다.[1]:219, Theorem 28.5[2]:155, Theorem 4.6.1
실수의 해석적 집합
실수선 의 해석적 집합은 르베그 가측 집합이며, 베르 성질 집합이며, 완전 집합 성질(영어: perfect set property)을 갖는다.
역사
니콜라이 니콜라예비치 루진[3]과 미하일 야코블레비치 수슬린[4] 이 1917년에 정의하였다.[5]
루진-노비코프 분리 정리는 2개의 집합에 대한 경우를 니콜라이 니콜라예비치 루진이 1927년에 증명하였고,[6] 이를 1931년에 표트르 세르게예비치 노비코프(러시아어: Пётр Серге́евич Но́виков, 1901~1975)가 가산 개의 집합에 대하여 일반화하였다.[7]
참고 문헌
- ↑ 가 나 다 라 마 바 사 Kechris, Alexander Sotirios (1995). 《Classical descriptive set theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 156. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-4190-4. ISBN 978-1-4612-8692-9. ISSN 0072-5285. MR 1321597. Zbl 0819.04002.
- ↑ Srivastava, Shashi Mohan (1991). 《A course on Borel sets》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 180. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-85473-6. ISBN 978-3-642-85475-0. MR 1619545. Zbl 0903.28001.
- ↑ Lusin, Nicolas (1917). “Sur la classification de M. Baire”. 《Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 164: 91–94. JFM 46.0390.03.
- ↑ Souslin, Michel (1917). “Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis”. 《Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences》 (프랑스어) 164: 88–91. JFM 46.0296.01.
- ↑ Lorentz, George G. (2001년 9월). “Who discovered analytic sets?” (PDF). 《The Mathematical Intelligencer》 (영어) 23 (4): 31. doi:10.1007/BF03024600. ISSN 0343-6993.
- ↑ Lusin, Nicolas (1927). “Sur les ensembles analytiques” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 10: 1–95. JFM 53.0171.05.
- ↑ Novikoff, Pierre (1931). “Sur les fonctions implicites mesurables B” (PDF). 《Fundamenta Mathematicae》 (프랑스어) 17 (1): 8–25. ISSN 0016-2736. JFM 57.0291.02. Zbl 0003.10802.
- Moschovakis, Yiannis N. (1980). 《Descriptive Set Theory》 (영어). North Holland. ISBN 0-444-70199-0.
- Martin, Donald A. (1969). “Measurable cardinals and analytic games”. 《Fundamenta Mathematicae》 (영어) 66: 287-291.
바깥 고리
- El’kin, A.G. (2001). “Analytic set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
- Efimov, B.A. (2001). “Luzin separability principles”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “A-set”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “A-operation”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.