부분 정의 함수

수학에서, 부분 정의 함수(部分定義函數, 영어: partial(ly defined) function)는 정의역의 일부분에만 정의되는, 함수의 개념의 일반화이다.

정의

집합 $X$와 $Y$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $X$에서 $Y$로 가는 부분 정의 함수는 정의역 $\operatorname {dom} f$이 $X$의 부분 집합이며, 공역이 $Y$인 함수 $f$이다.

$X\to Y$ 부분 정의 함수들의 집합을 $\operatorname {Pfn} (X,Y)$라고 표기하자. 그렇다면, 그 위에는 다음과 같은 부분 순서를 줄 수 있다.

$f\leq g\iff \left(\operatorname {dom} f\subseteq \operatorname {dom} g\land g|_{\operatorname {dom} f}=f\right)$

그렇다면 $\operatorname {Pfn} (X,Y)$는 부분 순서 집합을 이룬다.

기수 $\kappa$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )$는 정의역의 크기가 $\kappa$ 미만인 부분 정의 함수들의 집합이다.

$\operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )=\{f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)\colon |\operatorname {dom} f|<\kappa \}$

이 역시 부분 순서 집합을 이룬다.

성질

$\operatorname {Pfn} (X,Y)$의 크기는 다음과 같다.

$|\operatorname {Pfn} (X,Y)|=\sum _{A\in {\mathcal {P}}(X)}|Y|^{|A|}=\sum _{0\leq \kappa \leq |X|}|Y|^{\kappa }{\binom {|X|}{\kappa }}$

$\operatorname {Pfn} (X,Y,\lambda )$의 크기는 다음과 같다.

$|\operatorname {Pfn} (X,Y)|=\sum _{0\leq \kappa <\lambda }|Y|^{\kappa }{\binom {|X|}{\kappa }}$

순서론적 성질

$\operatorname {Pfn} (X,Y)$의 (유일한) 최소 원소는 정의역이 공집합인 유일한 함수이다. $\operatorname {Pfn} (X,Y)$의 극대 원소는 $\operatorname {dom} f=X$인 함수 $f\in Y^{X}$이다.

만약 $Y$가 가산 집합이라면, $\operatorname {Pfn} (X,Y,\aleph _{0})$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. 또한, 이는 집합론의 모형에서도 성립한다. 즉, $M$이 ZFC의 가산 표준 추이적 모형이며 $P=\operatorname {Pfn} (X,Y,\aleph _{0})\in M$이며, $\operatorname {CAC} (P)$가 "$P$가 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시킨다"는 1차 논리 논리식이라면, $M\models \operatorname {CAC} (P)$이다. (이 사실은 강제법에서 중요하게 쓰인다.)

범주론적 성질

다음과 같은 범주 $\operatorname {Set_{part}}$를 생각하자.

• $\operatorname {Set_{part}}$의 대상은 집합이다.
• 두 집합 $X$, $Y$ 사이의 사상 $f\colon X\to Y$은 부분 정의 함수 $f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)$이다.

그렇다면, $\operatorname {Set_{part}}$는 점을 가진 집합의 범주 $\operatorname {Set} _{\bullet }$와 동치이다.^:10

$\operatorname {Set_{part}} \simeq \operatorname {Set} _{\bullet }$

다음과 같은 범주 $\operatorname {Set_{part,inj}}$를 생각하자.

• $\operatorname {Set_{part}}$의 대상은 집합이다.
• 두 집합 $X$, $Y$ 사이의 사상 $f\colon X\to Y$은 단사 부분 정의 함수 $f\in \operatorname {Pfn} (X,Y)$이다. (즉, 이는 $X$의 부분 집합과 $Y$의 부분 집합 사이의 전단사 함수이다.)

그렇다면 $\operatorname {Set_{part,inj}}$는 스스로의 반대 범주와 동치이다.^{:289, Exercise 5.7.3}

$\operatorname {Set_{part,inj}} \simeq \operatorname {Set_{part,inj}} ^{\operatorname {op} }$

강제법적 성질

(편의상, 강제법에 공시작 집합·포괄적 필터 대신 공종 집합·포괄적 순서 아이디얼을 사용하자.)

ZFC의 가산 표준 추이적 모형 $M$이 주어졌다고 하고, $M\ni \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )$라고 하고, 또한 $M\ni X$라고 하자. 그렇다면, $M$에 $\operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )$의 포괄적 순서 아이디얼 $G\subseteq \operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )$를 추가한 강제법 모형 $M[G]$를 정의할 수 있다. 이를 코언 강제법(영어: Cohen forcing)이라고 한다.^:§VII.5

구체적으로, $X=S\times \mathbb {N}$이라고 하고, 또한

$M\models |S|>\aleph _{0}$

라고 하자. 즉,

$|S|\geq \omega _{1}^{M}$

이라고 하자. (여기서 $\omega _{1}^{M}\in \operatorname {Ord} ^{M}=\operatorname {Ord} \cap M$은 순서수이지만 기수가 아닐 수 있다.) 그렇다면

$M[G]\models \lnot {\mathsf {CH}}$

임을 보일 수 있다 ($\operatorname {CH}$는 연속체 가설).

증명:

순서 아이디얼 조건에 의하여 $\sup G\in G$이며, 또한 $\sup G$는 포괄성 조건에 따라서 사실 $X=S\times \mathbb {N}$ 전체에 정의된 함수이다.

다음을 정의하자.

$H=\left(\bigcup G\right)^{-1}(\top )\subseteq S\times \mathbb {N}$

$H_{s}=\{n\in \mathbb {N} \colon (s,n)\in H\}\subseteq \mathbb {N} \qquad (s\in S)$

그렇다면 포괄성 조건에 의하여 다음을 보일 수 있다.

• $H_{s}\not \in M$
• $s\neq t\implies H_{s}\neq H_{t}$
• $H_{s}\in M[G]$

따라서, $\{H_{s}\}_{s\in S}$는 $\mathbb {N}$의 $|S|$개의 부분 집합들을 이루며, 따라서

$M[G]\models 2^{\aleph _{0}}\geq |S|$

이다.

이제, $M$ 속에서 $\operatorname {Pfn} (X,Y,\kappa )$는 가산 강상향 반사슬 조건을 만족시키므로, 이에 대한 강제법은 기수를 보존한다. 따라서 $|S|$의 크기는 $M$과 $M[G]$ 속에서 같으며, 따라서

$M[G]\models 2^{\aleph _{0}}\geq |S|>\aleph _{0}$

이다.

바깥 고리

• “Partial function”. 《nLab》 (영어).