꼬임 없는 가군: 두 판 사이의 차이
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환 <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 '''꼬임 없는 왼쪽 가군'''({{llang|en|torsion-free left module}})이라고 한다. |
환 <math>R</math>의 [[왼쪽 가군]] <math>_RM</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 '''꼬임 없는 왼쪽 가군'''({{llang|en|torsion-free left module}})이라고 한다. |
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* 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>m\not\in\operatorname{Ann}(r_R)M</math>이라면, <math>rm\ne0</math>이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|§1}} |
* 임의의 <math>r\in R</math> 및 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>m\not\in\operatorname{Ann}(r_R)M</math>이라면, <math>rm\ne0</math>이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|§1}}<ref name="Tuganbaev"/>{{rp|83, §2.8}} |
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* 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>\operatorname{Tor}^R_1(R/rR,M)=0</math>이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|Proposition 1}} |
* 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, <math>\operatorname{Tor}^R_1(R/rR,M)=0</math>이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|Proposition 1}} |
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* 임의의 <math>r\in R</math>에 대하여, 자연스러운 [[군 준동형]] <math>rR\otimes_RM\to rM</math>은 [[아벨 군]]의 [[동형]]이다.<ref name="Tuganbaev">{{서적 인용 | 제목=Rings close to regular | 이름=Askar | 성=Tuganbaev | doi=10.1007/978-94-015-9878-1 | isbn=978-90-481-6116-4 | 총서=Mathematics and its Applications | 권=545 | 출판사=Springer-Verlag | 언어=en}}</ref>{{rp|83, Proposition 2.8.4}} |
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:<math>\operatorname{Ann}(_Rr)=\{s\in R\colon sr=0\}</math> |
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모든 왼쪽 [[단사 가군]]은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 [[왼쪽 아이디얼]]이 [[주 왼쪽 아이디얼]]이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|Proposition 2}}<ref name="Lam"/>{{rp|Corollary 3.17′}} 이는 왼쪽 가군 <math>M</math>이 [[단사 가군]]일 필요충분조건은 모든 [[왼쪽 아이디얼]] <math>_R\mathfrak A</math>에 대하여 <math>\operatorname{Ext}_R^1(R/\mathfrak A,M)=0</math>인 것이기 때문이다.<ref>{{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles A.|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}</ref>{{rp|Lemma 4.1.11}} |
모든 왼쪽 [[단사 가군]]은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 [[왼쪽 아이디얼]]이 [[주 왼쪽 아이디얼]]이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|Proposition 2}}<ref name="Lam"/>{{rp|Corollary 3.17′}} 이는 왼쪽 가군 <math>M</math>이 [[단사 가군]]일 필요충분조건은 모든 [[왼쪽 아이디얼]] <math>_R\mathfrak A</math>에 대하여 <math>\operatorname{Ext}_R^1(R/\mathfrak A,M)=0</math>인 것이기 때문이다.<ref>{{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles A.|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}</ref>{{rp|Lemma 4.1.11}} |
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=== 평탄 가군과의 관계 === |
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모든 왼쪽 [[평탄 가군]] <math>_RM</math>은 항상 꼬임 없는 가군이다. 반대로, 만약 모든 유한 생성 [[오른쪽 아이디얼]]이 [[주 오른쪽 아이디얼]]이라면 (예를 들어, [[베주 정역]]의 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|Proposition 2}}<ref name="Lam"/>{{rp|128, Proposition 4.20}} 이는 왼쪽 가군 <math>M</math>이 [[평탄 가군]]일 필요충분조건은 모든 유한 생성 [[오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A_R</math>에 대하여 <math>\operatorname{Tor}_R^1(R/\mathfrak A,M)=0</math>인 것이기 때문이다. |
모든 왼쪽 [[평탄 가군]] <math>_RM</math>은 항상 꼬임 없는 가군이다. 반대로, 만약 모든 유한 생성 [[오른쪽 아이디얼]]이 [[주 오른쪽 아이디얼]]이라면 (예를 들어, [[베주 정역]]의 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다.<ref name="Hattori"/>{{rp|Proposition 2}}<ref name="Lam"/>{{rp|128, Proposition 4.20}} 이는 왼쪽 가군 <math>M</math>이 [[평탄 가군]]일 필요충분조건은 모든 유한 생성 [[오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A_R</math>에 대하여 <math>\operatorname{Tor}_R^1(R/\mathfrak A,M)=0</math>인 것이기 때문이다. |
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꼬임 없는 왼쪽 가군 <math>_RM</math>에 대하여 다음 조건들이 서로 [[동치]]이다.<ref name="Tuganbaev"/>{{rp|84, Proposition 2.8.5}} |
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* [[평탄 왼쪽 가군]]이다. |
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* 임의의 [[오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A_R,\mathfrak B_R\subseteq R</math>에 대하여, <math>\mathfrak AM\cap\mathfrak BM=(\mathfrak A\cap\mathfrak B)M</math>이다. |
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* 임의의 [[유한 생성 가군|유한 생성]] [[오른쪽 아이디얼]] <math>\mathfrak A_R,\mathfrak B_R\subseteq R</math>에 대하여, <math>\mathfrak AM\cap\mathfrak BM=(\mathfrak A\cap\mathfrak B)M</math>이다. |
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:<math>\mathfrak AM=\{a_1m_1+a_2m_2+\cdots+a_km_k\colon k\in\mathbb N,\;\vec a\in\mathfrak A^k,\;\vec m\in M^k\}</math> |
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이다. |
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== 참고 문헌 == |
== 참고 문헌 == |
2016년 6월 1일 (수) 09:58 판
환론에서, 꼬임 없는 가군(영어: torsion-free module)은 및 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" 인 가군 이다. 마찬가지로, 나눗셈 가군(영어: divisible module)은 및 에 대하여 "특별한 이유가 없다면" 이 (유일하지 않을 수 있게) 존재하는 가군 이다. 꼬임 없는 가군의 개념과 나눗셈 가군의 개념은 서로 쌍대 개념이다.
보다 구체적으로, 임의의 환 및 왼쪽 가군 에서, 임의의 에 대하여 만약 이라면, 당연히 이다. 따라서, 임의의 에 대하여 일 필요 조건은 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, 을 꼬임 없는 가군이라고 한다.
마찬가지로, 임의의 환 및 왼쪽 가군 에서, 임의의 에 대하여 이라고 하자. 그렇다면 이므로, 임의의 에 대하여 이 존재할 필요 조건은 인 것이다. 이 필요 조건들이 충분한 경우, 을 나눗셈 가군이라고 한다.
정의
환 의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 나눗셈 왼쪽 가군(영어: divisible left module)이라고 한다.
환 의 왼쪽 가군 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 왼쪽 가군을 꼬임 없는 왼쪽 가군(영어: torsion-free left module)이라고 한다.
- 임의의 및 에 대하여, 이라면, 이다.[1]:§1[3]:83, §2.8
- 임의의 에 대하여, 이다.[1]:Proposition 1
- 임의의 에 대하여, 자연스러운 군 준동형 은 아벨 군의 동형이다.[3]:83, Proposition 2.8.4
여기서
는 각각 의 왼쪽·오른쪽 소멸자이며,
이며, Tor는 Tor 함자이며, Ext는 Ext 함자이다.
성질
모든 왼쪽 단사 가군은 항상 왼쪽 나눗셈 가군이다. 반대로, 만약 모든 왼쪽 아이디얼이 주 왼쪽 아이디얼이라면, 모든 왼쪽 나눗셈 가군은 왼쪽 단사 가군이다.[1]:Proposition 2[2]:Corollary 3.17′ 이는 왼쪽 가군 이 단사 가군일 필요충분조건은 모든 왼쪽 아이디얼 에 대하여 인 것이기 때문이다.[4]:Lemma 4.1.11
평탄 가군과의 관계
모든 왼쪽 평탄 가군 은 항상 꼬임 없는 가군이다. 반대로, 만약 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼이 주 오른쪽 아이디얼이라면 (예를 들어, 베주 정역의 경우), 모든 왼쪽 꼬임 없는 가군은 왼쪽 평탄 가군이다.[1]:Proposition 2[2]:128, Proposition 4.20 이는 왼쪽 가군 이 평탄 가군일 필요충분조건은 모든 유한 생성 오른쪽 아이디얼 에 대하여 인 것이기 때문이다.
꼬임 없는 왼쪽 가군 에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.[3]:84, Proposition 2.8.5
여기서
이다.
참고 문헌
- ↑ 가 나 다 라 마 바 Hattori, Akira (1960). “A foundation of torsion theory for modules over general rings”. 《Nagoya Mathematical Journal》 (영어) 17: 147–158. ISSN 0027-7630. MR 0137745. Zbl 0117.02202.
- ↑ 가 나 다 Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
- ↑ 가 나 다 Tuganbaev, Askar. 《Rings close to regular》. Mathematics and its Applications (영어) 545. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-94-015-9878-1. ISBN 978-90-481-6116-4.
- ↑ Weibel, Charles A. (1994). 《An introduction to homological algebra》. Cambridge Studies in Advanced Mathematics (영어) 38. Cambridge University Press. doi:10.1017/CBO9781139644136. ISBN 978-0-52143500-0. MR 1269324. OCLC 36131259. Zbl 0797.18001.
- Matlis, Eben (1973년 1월). 《Torsion-free modules》 (영어). The University of Chicago Press. ISBN 978-022651074-3. MR 0344237.
바깥 고리
- “Torsion-free module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
- “Torsion submodule”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.