애니온

통계역학에서, 애니온(영어: anyon)은 2+1차원 계에서 나타나는, 보손도 아니고 페르미온도 아닌 입자이다.

정의

스핀-통계 정리는 4차원 이상 민코프스키 공간에서만 성립하고, 3차원 이하에서는 성립하지 않는다. 그 이유는 3차원에서는 로런츠 군 $SO(2,1)$이 무한한 크기의 기본군을 갖기 때문이다. 즉, $d>3$인 경우

$\pi _{1}(SO(d-1,1))=\mathbb {Z} /2$

이므로, 그 범피복공간

$SO(d-1,1)\to \operatorname {Spin} (d-1,1)\twoheadrightarrow \mathbb {Z} /2$

의 표현은 $\mathbb {Z} /2$에 따라 보손과 페르미온으로 나뉜다. 반면 $d=3$인 경우

$\pi _{1}(SO(2,1))=\mathbb {Z}$

이며, 스핀-통계 정리가 성립하지 않는다.

3차원 시공간에서 n개의 점입자들은 일반적으로 꼬임군

$B_{n}=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle$

의 표현을 따른다. 이 경우, 보손은 $B_{n}$의 작용에 대해 자명한 표현을 따르는 입자이고, 페르미온은 군 준동형사상

$\sigma _{i}\mapsto 1\in \{0,1\}\cong \mathbb {Z} /2$

의 상

$B_{n}\to \mathbb {Z} /2$

에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이다. (즉, 입자의 교환에 따라 $-1$이 곱해진다.)

아벨 애니온(영어: Abelian anyon)은 상

$B_{n}\to \mathbb {Z} \cong \langle 1\rangle$

$\sigma _{i}\mapsto 1$

에 대하여 자명하지 않는 표현을 따르는 입자이며, 위상 $\theta \neq 0,\pi$에 의해 정의된다. 즉, 두 입자를 교환했을 때

$|\psi _{i}\psi _{j}\rangle =\exp(i\theta )|\psi _{j}\psi _{i}\rangle$

를 따른다. 여기서 $\theta =0$이면 보손, $\theta =\pi$이면 페르미온이 된다.

비아벨 애니온(영어: non-Abelian anyon)은 꼬임군 $B_{n}$의 일반적인 고차원 표현을 따르는 입자이다.

역사와 어원

1977년에 욘 망네 레이노스(노르웨이어: Jon Magne Leinaas)와 얀 뮈르헤임(노르웨이어: Jan Myrheim)이 2차원 유클리드 공간 이론에서 (아벨) 애니온이 가능함을 지적하였다. 1982년에 프랭크 윌첵이 이들이 분수 양자 홀 효과에 등장함을 보였고, "애니온"이라는 이름을 붙였다. 여기서 "애니온"(영어: anyon 에니온^[*])은 영어: any 에니^[*](어떤 ~에도 상관없이, 임의의) + 영어: -on 온^[*](입자를 나타내는 접미사)에서 왔고, 아벨 애니온이 2입자를 치환할 때 임의의 위상이 더해질 수 있다는 것에서 유래하였다. 비아벨 애니온은 1988년에 위르크 프뢸리히(독일어: Jürg Martin Fröhlich)와 피에르 알베르토 마르케티(이탈리아어: Pier Alberto Marchetti)가 도입하였다.

참고 문헌

• Rao, Sumathi. “An anyon primer”. arXiv:hep-th/9209066. Bibcode:1992hep.th....9066R. 
• Nayak, Chetan; Steven Simon, Ady Stern, Michael Freedman, Sankar Das Sarma (2008). “Non-Abelian anyons and topological quantum computation”. 《Reviews of Modern Physics》 80 (3): 1083. arXiv:0707.1889v2. Bibcode:2008RvMP...80.1083N. doi:10.1103/RevModPhys.80.1083. 
• Stern, Ady (2008). “Anyons and the quantum Hall effect—A pedagogical review”. 《Annals of Physics》 323: 204. arXiv:0711.4697. Bibcode:2008AnPhy.323..204S. doi:10.1016/j.aop.2007.10.008. 
• Wen, Xiao-Gang; Zhenghan Wang. 〈Pattern-of-zeros approach to Fractional quantum Hall states and a classification of symmetric polynomial of infinite variables〉. 《Conformal Field Theories and Tensor Categories: Proceedings of a Workshop Held at Beijing International Center for Mathematical Research》. Springer. arXiv:1203.3268. Bibcode:2012arXiv1203.3268W. doi:10.1007/978-3-642-39383-9_2. ISBN 978-3-642-39382-2.