추적선
기하학에서, 추적선(追跡線, 영어: tractrix)이란 마찰이 있는 상황에서 어떤 점을 수평선을 따라 이동시킬 때 점과 선분으로 연결된 물체가 남기는 경로이다.
추적선은 1670년에 클로드 페로가 처음 언급했으며 이후 아이작 뉴턴(1676)과 크리스티안 하위헌스(1693)가 연구하였다.[1]
정의[편집]
물체의 처음 위치가 (a, 0)이고(그림에서는 (4, 0)), 물체와 선분으로 연결된 점이 원점에서 출발해 y축 방향으로 움직인다고 하자. 이때 물체가 이동하는 경로인 추적선은 다음의 식으로 표현된다.마지막 식에서 맨 앞의 부호는 점이 y축의 +방향으로 이동하는지, 아니면 -방향으로 이동하는지에 따라 결정된다.
식은 다음과 같은 방법으로 유도된다. 매 순간마다, 점과 물체를 잇는 선분의 기울기는 물체의 해당 위치에서 추적선 y = y(x)의 기울기와 같다. 즉 물체가 좌표평면 상에서 (x, y)에 위치할 때, 피타고라스의 정리에 의해 y좌표에서 이동하는 점의 좌표는 이다. 추적선은 y(x)는 다음의 미분방정식을 만족한다.
이때 곡선은 초기 조건인 y(a) = 0을 만족해야 한다. 따라서 주어진 미분방정식을 풀면 추적선의 해는
가 되고, 이를 풀면 위의 식이 도출된다.
성질[편집]
- 추적선은 으로 매개화된다.[2]
- 추적선의 정의에 따라, 추적선 위의 점과 그 점에서의 접선이 점근선과 만나는 점까지의 거리는 일정하다.
- 추적선의 꺾이지 않는 연속적인 구간 내에서, x = x1과 x = x2 사이의 곡선의 길이는 a ln x1x2이다.
- 추적선과 점근선 사이 영역의 넓이는 π a22이다.
- 추적선의 축폐선은 현수선이다. 즉 추적선은 현수선의 신개선이다. 이때 현수선의 식은 y = a cosh xa이다.
- 추적선은 초월함수의 곡선이다. 즉 곡선은 다항함수로는 표현 불가능하다.
- 추적선을 점근선에 대해 회전하면 유사구가 된다.
각주[편집]
- ↑ Stillwell, John (2010). 《Mathematics and Its History》 revis, 3판. Springer Science & Business Media. 345쪽. ISBN 978-1-4419-6052-8., extract of page 345
- ↑ O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Tractrix”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.
참고 문헌[편집]
- Kasner, Edward; Newman, James (1940). 《Mathematics and the Imagination》. Simon & Schuster. 141–143쪽.
- Lawrence, J. Dennis (1972). 《A Catalog of Special Plane Curves》. Dover Publications. 5, 199쪽. ISBN 0-486-60288-5.
같이 보기[편집]
외부 링크[편집]
- O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “Tractrix”. 《MacTutor History of Mathematics Archive》 (영어). 세인트앤드루스 대학교.
- “Tractrix”. 《PlanetMath》 (영어).
- “Famous curves on the plane.”. 《PlanetMath》 (영어).