하디-리틀우드 타우버 정리

해석학에서 하디-리틀우드 타우버 정리(영어: Hardy–Littlewood Tauberian theorem)는 어떤 함수의 라플라스 변환의 극한과 함수의 적분의 극한 사이를 연관짓는 타우버 정리이다.

정의

유계 변동 함수

$f\colon [0,\infty )\to \mathbb {R}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $s>0$인 경우 라플라스 변환

$\omega (s)=\int _{0}^{\infty }\exp(-st)\,df(t)$

이 항상 존재한다. 하디-리틀우드 타우버 정리에 따르면, 임의의 음이 아닌 실수 $\rho \geq 0$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• $s\to 0^{+}$이라면 $\omega (s)\sim s^{-\rho }$이다.
• $t\to \infty$라면 $f(t)\sim t^{\rho }/\Gamma (\rho +1)$이다.

급수에 대한 형태

급수 $\sum _{n}a_{n}$이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위의 하디-리틀우드 타우버 정리를 $a_{k}$에 대한 계단 함수

$f(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }a_{k}$

에 적용하면, 다음과 같은 형태의 하디-리틀우드 타우버 정리를 얻는다. 만약

• 항상 $a_{n}\geq 0$이며,
• $y\to 0^{+}$일 때 $\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}\exp(-ky)\sim 1/y$라면,

다음이 성립한다.

$\sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n\qquad (n\to \infty )$

따름정리

리틀우드 타우버 정리(영어: Littlewood Tauberian theorem)에 따르면, 만약 수열 $a_{n}$이

$a_{n}\in O(1/n)$

이며, $x\to 1^{-}$일 때

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\to s$

라면,

$\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}=s$

이다. 이는 하디-리틀우드 타우버 정리

$\lim _{x\to 1^{-}}\sum _{k=0}^{\infty }(1-x)^{c}a_{k}x^{k}=s\implies \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim {\frac {s}{\Gamma (1+c)}}n^{c}$

에서, $c=0$인 특수한 경우이다.

예

하디-리틀우드 타우버 정리에서, $a_{n}$이 음이 아닌 수라는 조건을 생략하면, 정리는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어,

$g(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}(1-x)}}=1-x+2x^{2}-2x^{3}+3x^{4}-3x^{5}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}x^{k}$

를 생각하자. 이 경우 $x\to 1$이라면 $g(x)\sim 1/(4(1-x))$이지만,

$\sum _{k=0}^{n}g_{k}={\begin{cases}n/2+1&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}}\not \sim n/4$

이다.

외부 링크

• “Hardy-Littlewood theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Hardy-Littlewood Tauberian theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.