해석학에서 하디-리틀우드 타우버 정리(영어: Hardy–Littlewood Tauberian theorem)는 어떤 함수의 라플라스 변환의 극한과 함수의 적분의 극한 사이를 연관짓는 타우버 정리이다.
유계 변동 함수
![{\displaystyle f\colon [0,\infty )\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/912ac1476c4c608cb533e2833e4e98b2b712936b)
가 주어졌다고 하자. 그렇다면
인 경우 라플라스 변환
![{\displaystyle \omega (s)=\int _{0}^{\infty }\exp(-st)\,df(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d23ef5591238f10d4c0f1799d792ae1feb2774d)
이 항상 존재한다. 하디-리틀우드 타우버 정리에 따르면, 임의의 음이 아닌 실수
에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.
이라면
이다.
라면
이다.
급수에 대한 형태[편집]
급수
이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위의 하디-리틀우드 타우버 정리를
에 대한 계단 함수
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\lfloor x\rfloor }a_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f4f696e0327cec51aa4d0b6b28af7f85a6c23c5)
에 적용하면, 다음과 같은 형태의 하디-리틀우드 타우버 정리를 얻는다. 만약
- 항상
이며,
일 때
라면,
다음이 성립한다.
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim n\qquad (n\to \infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/564ec0e623753dfc0ae18a8ed668f262b9dfca5c)
따름정리[편집]
리틀우드 타우버 정리(영어: Littlewood Tauberian theorem)에 따르면, 만약 수열
이
![{\displaystyle a_{n}\in O(1/n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0260daa7261be81a512609212a9278c63e03c09)
이며,
일 때
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}\to s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60dfdfc7c905d3e66f6b6238c4ef70fc6eb4532a)
라면,
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}=s}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b53c98b96f586a509d28f383a199a7234d63171)
이다. 이는 하디-리틀우드 타우버 정리
![{\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}\sum _{k=0}^{\infty }(1-x)^{c}a_{k}x^{k}=s\implies \sum _{k=0}^{n}a_{k}\sim {\frac {s}{\Gamma (1+c)}}n^{c}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/842edd40a79e913232241ad5196aab868bc692c9)
에서,
인 특수한 경우이다.
하디-리틀우드 타우버 정리에서,
이 음이 아닌 수라는 조건을 생략하면, 정리는 더 이상 성립하지 않는다. 예를 들어,
![{\displaystyle g(x)={\frac {1}{(1+x)^{2}(1-x)}}=1-x+2x^{2}-2x^{3}+3x^{4}-3x^{5}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }g_{k}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bcf0f1c33234cac3cc18a53ea22ddf37d4be513)
를 생각하자. 이 경우
이라면
이지만,
![{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}g_{k}={\begin{cases}n/2+1&2\mid n\\0&2\nmid n\end{cases}}\not \sim n/4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d4f5f638b4f5fdbfa1213f6209fbc72636b773c)
이다.
외부 링크[편집]