프로베니우스 방법(Frobenius方法, 영어: Frobenius method)은 특정한 종류의 선형 상미분 방정식을 거듭제곱 급수 전개로 푸는 방법이다.
정칙 함수
가
에서 특이점을 갖지 않는다고 하자. 미지의 정칙 함수
에 대한 k차 선형 상미분 방정식
![{\displaystyle f^{(k)}(z)+z^{-1}p_{k-1}(z)f^{(k-1)}(z)+\cdots +z^{1-n}p_{1}(z)f'(z)+z^{-n}p_{0}f(z)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/714250166153aa1d834c2c2b297067076c5bed57)
은
에서 정칙 특이점을 갖는다. 그렇다면, 프로베니우스 방법은
를 다음과 같은 급수를 가설 풀이로 대입하여 미분 방정식을 푸는 방법이다.
![{\displaystyle f(z)=z^{r}+a_{1}z^{r+1}+a_{2}z^{r+2}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1d2a47d748fc0ed2c625a7d4e5dd0bfa4430901)
이 경우, 미지의 최저 차수
는 다음과 같이 구한다. 미분 방정식은
근처에서 다음과 같다.
![{\displaystyle 0=\left(r(r-1)\cdots (r-k+1)+p_{k-1}(0)r(r-1)\cdots (r-k+2)+\cdots +p_{1}(0)r+p_{0}(0)\right)z^{r-k}+{\mathcal {O}}(z^{r-k+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d1d0a487a69d5d7fd122a8fbee3ef6d059d2e8f)
따라서,
![{\displaystyle 0=r(r-1)\cdots (r-k+1)+p_{k-1}(0)r(r-1)\cdots (r-k+2)+\cdots +p_{1}(0)r+p_{0}(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f8f32269ee95359d2543fe9338172d469ef9504)
임을 알 수 있다.
에 대한 이 n차 다항식을 결정 다항식(영어: indicial polynomial)이라고 하며,
는 결정 다항식의 근이다.
- 만약 결정 다항식의 근들의 차가 정수가 아니라면, 모든 해들은 위와 같은 거듭제곱 급수로 전개될 수 있다.
- 만약 결정 다항식의 근들 가운데 일부가 일치하거나, 아니면 근들의 차 가운데 일부가 정수라면, 일반적으로 해는 다음과 같이 로그 항이 포함될 수 있다.
![{\displaystyle f(z)=z^{r}\sum _{m=1}^{k-1}\sum _{n=0}^{\infty }a_{m,n}(\ln z)^{m}z^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7308f918c15bb9e2d86aa3338fb6bb46fd1416e)
- 다만, 항상 순수하게 거듭제곱 급수 꼴인 해가 적어도 하나는 존재한다 (푹스 정리 영어: Fuchs’ theorem).
근이 겹치는 경우[편집]
결정 다항식의 근들이
이고,
의 중복도가
라고 하자. 또한,
인 경우
가 항상 정수가 아니라고 하자. 그렇다면 프로베니우스 방법에 의하여, 각
에 대응되는 해들은 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle f_{i,0}=z^{r_{i}}(\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c1f824a1e367c2b313530334588f16af6f20c90)
![{\displaystyle f_{i,1}=f_{i,0}(z){\frac {\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_{i})}}+z^{r_{i}}(\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4549a2097727f139eec4686145ca10e116132ae1)
![{\displaystyle f_{i,2}=f_{i,1}(z){\frac {\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_{i})}}+z^{r_{i}}(\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401e16974cf8565969af0cc695f33e10cf5947e0)
![{\displaystyle \vdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083)
![{\displaystyle f_{i,m_{i}-1}=f_{i,m_{i}-2}(z){\frac {\ln z}{2\pi i\exp(2\pi ir_{i})}}+z^{r_{i}}(\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abb4cd2ed6edf2d48740cd4f12916de321067324)
여기서
는
에서 정칙 함수를 나타낸다. 이 경우,
을 반시계방향으로 한 번 돈 모노드로미는 다음과 같이 조르당 표준형이 된다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{i,m_{i}-1}\\f_{i,m_{i}-2}\\\vdots \\f_{i,1}\\f_{i,0}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_{i})&1\\&\exp(2\pi ir_{i})&1\\&&\ddots &\ddots \\&&&\exp(2\pi ir_{i})&1\\&&&&\exp(2\pi ir_{i})\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{i,m_{i}-1}\\f_{i,m_{i}-2}\\\vdots \\f_{i,1}\\f_{i,0}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79e0b7dcc490c0ccd42c19fb5b4818bfe7a26539)
낮은 차수 선형 방정식[편집]
1차 선형 방정식[편집]
1차 선형 방정식의 경우 결정 방정식은 1차 방정식이므로 쉽게 풀 수 있다. 미분 방정식
![{\displaystyle f'(z)+p(z)f(z)/z=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52e1ebebda569917de6d38bdd3a44561cc10d7fe)
의 경우, 결정 다항식은
![{\displaystyle r=-p(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff492ab33819ad0ce5e0362af8d81f0ee932bd4)
이며, 이에 따라 해는
![{\displaystyle f(z)=z^{-p(0)}(a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae982dba3ff2070bc9da52f03f269401ff96fddc)
의 꼴이다. 물론, 이 경우는 굳이 프로베니우스 방법을 쓰지 않아도 바로
![{\displaystyle f(z)=\exp \left(C-\int _{0}^{z}{\frac {p(z')dz}{z'}}\right)=\exp \left(C-p(0)\ln z+p'(0)z+p''(0)z^{2}/4+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34aa3068a80755fa069aa5e88f9e1ed34923a095)
로 풀 수 있다. 이 경우, 반시계방향 회전
에 대한 모노드로미는 프로베니우스 방법과 마찬가지로
![{\displaystyle f(z)\to \exp(-2\pi ip(0))f(z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/687120534bd3dc13910ad08d0eca73d6de882421)
가 됨을 알 수 있다.
2차 선형 방정식[편집]
2차 선형 방정식의 경우, 결정 다항식은 2차 방정식이므로, 쉽게 풀 수 있다.
![{\displaystyle r={\frac {1}{2}}\left(1-p_{1}(0)\pm {\sqrt {(p_{1}(0)-1)^{2}-4p_{2}(0)}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a534cc096a566c79b58c6bd1b3fcf604245f884f)
이 경우 두 근을
라고 하자. 이 경우 다음과 같은 경우가 가능하다.
- 만약 두 근이 서로 겹치지 않고, 또한
가 정수가 아니라면
![{\displaystyle f_{1}(z)=z^{r_{1}}\left(a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45def59f86d314142f851e421f0a783952eaf28a)
![{\displaystyle f_{2}(z)=z^{r_{2}}\left(b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e77c11cafb9b642cf85d528049e2507776e1b3a2)
- 와 같은 꼴의 두 해가 존재한다. 이 경우,
와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_{1})&0\\0&\exp(2\pi ir_{2})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9987b8c549d0d5134800438b0d51896fc839c461)
- 만약 두 근이 서로 겹친다면 (
) 두 근은 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle f_{1}(z)=z^{r}\left(a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42a852abd28a95c6e7df1e480eff39262b11d52)
![{\displaystyle f_{2}(z)=f_{1}(z)\ln {z}+z^{r}\left(b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd08a84e86b34fa06f40c0c54a88dfc245d5e7ea)
- 이 경우,
와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir)&0\\2\pi i\exp(2\pi ir)&\exp(2\pi ir)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29fc94443ebedf1947df16e20881186f2a027730)
- 만약 두 근이 서로 겹치지 않지만 그 차
가 양의 정수라면 두 근은 다음과 같은 꼴이다.
![{\displaystyle f_{1}(z)=z^{r_{1}}(a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3962cce3771ef99f7a678dae19dfe9d7ef55bb89)
![{\displaystyle f_{2}(z)=Cf_{1}(z)\ln z+z^{r_{2}}\left(b_{0}+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37756f0a9a00f4b4af251948766992e5d45bf7dd)
- 이 경우
또는
이다. 이 경우,
와 같이 반시계방향으로 변환하면, 다음과 같은 모노드로미를 얻는다.
![{\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}\exp(2\pi ir_{1})&0\\2\pi iC\exp(2\pi ir_{1})&\exp(2\pi ir_{1})\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e70e3772a508d6bdf23b7e8b666559f84bdad74)
베셀 방정식
![{\displaystyle f''+z^{-1}f'+(1-\alpha ^{2}/z^{2})f=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85000849df18764f378adbe69e4bb0a7be080329)
을 생각해 보자. 이 경우, 결정 다항식은
![{\displaystyle r(r-1)+r-\alpha ^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3f144cb1394b12939ccde7d044899393340562f)
이다. 따라서
![{\displaystyle r=\pm \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae02201aac9b856462238ce29a289cb415e8699e)
가 된다. 즉,
라면 해는
근처에서
![{\displaystyle f(z)\propto z^{\pm \alpha }(1+\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3fa980e4026a6d63bcdf2d07b48f5221566d323b)
의 꼴이 된다. 실제로 베셀 방정식의 두 독립해는 베셀 함수
에 의하여 주어지며, 이들은
근처에서 다음과 같다.
![{\displaystyle J_{\pm \alpha }(z)\sim {\frac {(z/2)^{\pm \alpha }}{\Gamma (1\pm \alpha )}}+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7166d1dfbd650de16da0670e20422953fdf389a7)
여기서
는
에서 정칙 함수이다.
만약
이라면, 두 근이 겹치게 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는
이며,
근처에서
![{\displaystyle J_{0}(z)\sim 1+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/578c5f9c6aa87ab26f18f5c66f524bf5f6819ff6)
![{\displaystyle Y_{0}(z)\sim (2/\pi )J_{0}(z)\ln z+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e50c37454372057a226892a839aebb014ce357)
이다. 여기서
는
에서 정칙 함수이다.
만약
이라면, 두 근의 차가 정수가 된다. 이 경우, 베셀 방정식의 두 독립해는
가 된다. 이 경우
![{\displaystyle J_{n}(z)\sim (z/2)^{n}/n!+\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5e15117c039c48fd778cac15c0f384a7423a428)
![{\displaystyle Y_{n}(z)\sim (2/\pi )\pi J_{n}(z)\ln z+z^{-n}(\cdots )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f6166c1b39c8daa787cef314acc8272b79a716)
이다. 여기서
는
에서 정칙 함수이다.
같이 보기[편집]
참고 문헌[편집]
- Kreyszig, Erwin (1999). 《Advanced Engineering Mathematics》 8판. John Wiley & Sons, INC. ISBN 0-471-15496-2.
외부 링크[편집]