경로
를 따라
를 적분한 결과는
의 영점(파란색)과 극점(빨간색)의 개수를 이용하여 구할 수 있다.
복소해석학에서 편각 원리(偏角原理, 영어: argument principle)는 유리형 함수의 로그 도함수의 닫힌곡선을 따른 경로 적분과 경로 내부에 포함된 영점과 극점 사이의 관계를 제시하는 정리이다.
연결 열린집합
속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선
가 주어졌고, 유리형 함수
가
위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면 편각 원리에 따르면 다음이 성립한다.[1][2]
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z=\sum _{z_{0}}N(f;z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05b655fe45dbe07c0d56e3b693e690bf5cd4aacd)
여기서
는
의 내부에 포함된 점들에 대한 합이며,
는
![{\displaystyle f(z)=\Theta (z-z_{0})^{N(f;z_{0})}\qquad (z\to z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e7edc494891d52742929e18b8f1b98c705000da)
을 만족시키는 정수이다. 즉, 만약
이 영점이라면 영점의 차수이며,
이 극점이라면 극점의 차수의 −1배이며, 영점이나 극점이 아니라면
이다. 유리형 함수의 영점 또는 극점은 고립점이므로,
는
에서 유한 개의 영점 또는 극점을 가지며, 따라서 이 합은 유한하다.
우선,
는
에서 영점이나 극점을 갖지 않으므로,
위의 경로 적분이 존재한다. 임의의
내부의 점
에 대하여, 다음과 같은 유리형 함수
를 정의하자.
![{\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{(z-z_{0})^{N(f;z_{0})}}}\qquad \forall z\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abc6eb35945b5d99be03ab4152b8fb6ec2c92c4f)
그렇다면,
의 정의에 의하여,
는 어떤 열린 근방
에서 영점이나 극점을 갖지 않는다. 따라서
는
에서 극점을 갖지 않는다. 이제
을 취하자. 그렇다면 코시 적분 정리에 의하여
![{\displaystyle \operatorname {Res} \left({\frac {f'}{f}};z_{0}\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-z_{0}|=r}\left({\frac {N(f;z_{0})}{z-z_{0}}}+{\frac {g'(z)}{g(z)}}\right)\mathrm {d} z=N(f;z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0faa440b0c4590b3bf41359064684b40aa76bc70)
이며, 따라서 유수 정리에 의하여
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}\mathrm {d} z=\sum _{z_{0}}\operatorname {Res} \left({\frac {f'}{f}};z_{0}\right)=\sum _{z_{0}}N(f;z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eca9bd1daba578e5d0c08113168765a44d9ef61)
이다.
일반화[편집]
연결 열린집합
속의 길이를 갖는 널호모토픽 단순 닫힌곡선
가 주어졌고, 유리형 함수
가
위에서 영점이나 극점을 갖지 않는다고 하자. 그렇다면, 임의의 정칙 함수
에 대하여,
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma }{\frac {f'(z)}{f(z)}}g(z)\mathrm {d} z=\sum _{z_{0}}N(f;z_{0})g(z_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68014e96d65f64ef4787d68e39984c1200f7d52f)
이다.[3] 이 정리에서
![{\displaystyle g(z)=1\qquad \forall z\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7733b51cc88f813ec6f5ef953abf3636db57d7be)
를 취하면 편각 원리를 얻으며, 어떤
에 대하여
![{\displaystyle f(z)=z-z_{0}\qquad \forall z\in D}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e966ce5182b765a356d4cff50eef639ee7635a)
를 취하면 코시 적분 공식을 얻는다. 이 정리는 아벨-플라나 공식을 증명하는 데 쓰인다.
프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.
같이 보기[편집]
- ↑ 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007, 212쪽.
- ↑ Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8, p.90.
- ↑ 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 268쪽.
외부 링크[편집]