편각 원리

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경로 C를 따라 f'(z)/f(z)를 적분한 결과는 f의 영점(파란색)과 (빨간색)의 갯수를 이용하여 구할 수 있다.

복소해석학에서, 편각 원리(偏角原理, 영어: argument principle)는 유리형 함수의 로그 도함수의 폐곡선을 따른 선적분은 경로에 포함된 영점과 극점의 수만으로 결정된다는 정리다.

정의[편집]

단일 연결 영역 D 속의 시계 반대 방향 단순 닫힌 곡선 C\subset D가 주어졌고, f\colon D\to\hat{\mathbb C}C 위에서 영점이나 극점을 갖지 않는 유리형 함수라고 하자. 그렇다면 편각 원리에 따르면 다음이 성립한다.[1][2]

\oint_C\frac{f'(z)}{f(z)}\,dz=\sum_{z_0}N(z_0)

여기서 \textstyle\sum_{z_0}C 속에 포함된 점들에 대한 합이며, N(z_0)\in\mathbb Z

f(z)\in\Theta(z-z_0)^{N(z_0)}

을 만족시키는 정수이다. 즉, 만약 z_0이 영점이라면 영점의 차수이며, z_0이 극점이라면 극점의 차수의 -1배이며, 영점이나 극점이 아니라면 N(z_0)=0이다. 유리형 함수의 영점 또는 극점의 수는 항상 유한하므로 이 합은 유한하다.

아벨-플라나 공식[편집]

닐스 헨리크 아벨조반니 안토니오 아메데오 플라나는 편각 원리를 일반화하여 아벨-플라나 공식(Abel-Plana formula)을 만들었다. 이는 다음과 같다.[3]

  1. 복소함수 f가 양의 방향의 단순 닫힌 경로 C로 둘러싸인 영역의 내부에서 유리형 함수이고, C에서 영점을 갖지 않으며 해석적이라 하자. 이제 z1, ..., zn을 C 내부에서 f의 모든 영점, w1, ..., wm을 C 내부에서 f의 모든 극이라 하자.
  2. 만약 복소함수 g가 C와 C 내부에서 해석적이라면, 다음 적분 공식이 성립한다.
\oint_C {f'(z) \over f(z)}g(z)\, dz=2\pi i (\sum^n_{i=1}g(z_i) - \sum^m_{i=1}g(w_i)).

아벨-플라나 공식에서 g(z) = 1일 경우, 바로 편각 원리를 얻는다.

역사[편집]

프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시가 증명하였다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007, 212쪽.
  2. Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press, p.90.
  3. 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 268쪽.

참고 문헌[편집]

  • 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007
  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8