편각 원리

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경로 C를 따라 f'(z)/f(z)를 적분한 결과는 f의 영점(파란색)과 (빨간색)의 갯수를 이용하여 구할 수 있다.

편각 원리(the Argument principle, 偏角原理) 또는 코시의 편각 원리(Cauchy's argument principle)는 복소해석학의 정리로, 유리형함수로그 도함수를 적분하여 구할 수 있는 값에 관한 내용이다. 이 정리를 입안하고 증명한 것은 프랑스의 수학자 오귀스탱 루이 코시였다.

공식화[편집]

이 정리는 다음과 같이 공식화할 수 있다.[1][2]

  • 복소함수 f가 양의 방향단순 닫힌 경로 C로 둘러싸인 영역의 내부에서 유리형함수이고, C에서 영점을 갖지 않으며 해석적이라 하자.
  • 중복된 것까지 세어 f가 C 안에서 Z개의 영점과 P개의 을 가진다면, \oint_C {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi i (Z-P) 이 성립한다.

아벨-플라나 공식[편집]

닐스 헨리크 아벨조반니 안토니오 아메데오 플라나는 편각 원리를 일반화하여 아벨-플라나 공식(Abel-Plana formula)을 만들었다. 이는 다음과 같다.[3]

  1. 복소함수 f가 양의 방향의 단순 닫힌 경로 C로 둘러싸인 영역의 내부에서 유리형함수이고, C에서 영점을 갖지 않으며 해석적이라 하자. 이제 z1, ..., zn을 C 내부에서 f의 모든 영점, w1, ..., wm을 C 내부에서 f의 모든 극이라 하자.
  2. 만약 복소함수 g가 C와 C 내부에서 해석적이라면, 다음 적분 공식이 성립한다.
\oint_C {f'(z) \over f(z)}g(z)\, dz=2\pi i (\sum^n_{i=1}g(z_i) - \sum^m_{i=1}g(w_i)).

아벨-플라나 공식에서 g(z) = 1일 경우, 바로 편각 원리를 얻는다.

같이 보기[편집]

주석[편집]

  1. 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007, 212쪽.
  2. Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press, p.90.
  3. 고석구, 《복소해석학개론》, 경문사, 2005, 268쪽.

참고 문헌[편집]

  • 강승필, 《해설 복소함수론》, 경문사, 2007
  • Elias M. Stein, Rami Shakarchi (2003), Complex Analysis, Princeton University Press, ISBN 0-691-11385-8