지반

지반(地盤)은 땅의 표면이다. 건축물 등의 기초가 된다.

지반 내의 응력분포

지반 내의 응력은 흙 자체의 무게로 인한 압력(overburden pressure)과 지표면 상의 재하 하중(surcharge)로 구분한다. 지하수나 모세관 수의 영향을 받는 경우는 물에 의한 응력 변화도 고려해야 한다.

집중하중에 의한 응력

Boussinesq에 의하면 지반이 무한히 크고, 균질이며, 탄성, 등방성이라고 가정할 경우 연직응력, 방사선 응력, 접선응력, 전단응력은 다음 식으로 구할 수 있다. μ는 포아송비이다.

연직 응력 $\sigma _{z}=-{\frac {3P}{2\pi R^{2}}}\cos ^{3}\theta$

방사선 응력 $\sigma _{r}={\frac {P}{2\pi R^{2}}}(-3\cos \theta \sin ^{2}\theta +{\frac {1-2\mu }{1+\cos \theta }})$

접선 응력 $\sigma _{t}={\frac {P}{2\pi R^{2}}}(1-2\mu )(\cos \theta -{\frac {1}{1+\cos \theta }})$

전단 응력 $\tau =-{\frac {3P}{2\pi R^{2}}}\cos ^{2}\theta \sin \theta$

그림에서 $\cos \theta ={\frac {z}{R}}$, $R={\sqrt {r^{2}+z^{2}}}$이므로 연직응력 $\sigma _{z}=-{\frac {3Pz^{3}}{2\pi R^{5}}}=-{\frac {3P}{2\pi }}{\frac {z^{3}}{(r^{2}+z^{2})^{5/2}}}=-{\frac {3P}{2\pi z^{2}\left[1+\left({\frac {r}{z}}\right)^{2}\right]^{\frac {5}{2}}}}$으로도 나타낼 수 있다.

원형 등분포하중에 의한 응력

원형 등분포 하중에 의한 연직응력

반지름이 r₀인 원형 등분포하중에 의한 z 깊이에서의 연직응력 q_z는 접촉압(contact pressure)을 $q_{0}={\frac {P}{A}}$라 할 때 다음과 같다. 이는 집중하중에 의한 연직응력 식을 적분하여 구한 것이다.

$q_{z}=q_{0}\left\{1-\left[1+\left({\frac {r_{0}}{z}}\right)^{2}\right]^{-{\frac {3}{2}}}\right\}$

선하중에 의한 응력

파일:선하중에 의한 연직응력.png

선하중에 의한 연직응력

무한 길이의 연성 선하중이 작용하는 경우 지반 내 연직응력 증가량은 다음과 같다.

$q_{z}={\frac {2q_{0}z^{3}}{\pi (x^{2}+z^{2})^{2}}}={\frac {2q_{0}}{\pi z\left[\left({\frac {x}{z}}\right)^{2}+1\right]^{2}}}$

유효응력과 공극수압

전응력(total stress, σ)은 유효응력(effective stress, or intergranular pressure, σ')과 공극수압(pore water pressure, or neutral stress, u)의 합으로 나타난다. 유효응력은 흙의 입자로 전달되는 압력을 말하고, 공극수압은 물로 전달되는 응력을 말한다. 그림에서 사각형으로 표시한 지반 내 미소 요소에 대한 응력을 식으로 나타내면 다음과 같다.

$\sigma =\sigma '+u$

$\quad =h_{1}\gamma _{sat}+h_{w}\gamma _{w}$

$u=(h_{1}+h_{w})\gamma _{w}$

$\sigma '=\sigma -u$

$\quad =h_{1}(\gamma _{sat}-\gamma _{w})=h_{1}\gamma _{sub}$

접지압

 이 부분의 본문은 기초 § 접지압입니다.

기초에 하중이 작용할 때, 기초 저면에 접하는 지반에 발생하는 반력을 접지압(contact pressure)이라 한다. 접지압은 기초가 강성 기초인지 휨성 기초인지에 따라 1차적으로 다르고, 지반이 모래 지반인지 점토 지반인지에 따라 2차적으로 구분된다.

• 강성 기초

• 모래 지반 위의 강성 기초 : 중심에서 최대 접지압, 가장자리에서 최소 접지압
• 점토 지반 위의 강성 기초 : 중심에서 최소 접지압, 가장자리에서 최대 접지압

• 휨성(연성) 기초

• 모래 지반 위의 휨성 기초 : 등분포 접지압
• 점토 지반 위의 휨성 기초 : 등분포 접지압

참고 문헌

• 장병욱; 전우정; 송창섭; 유찬; 임성훈; 김용성 (2010). 《토질역학》. 구미서관. ISBN 978-89-8225-697-4. 

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