카스틸리아노의 정리 (Castigliano's theorems)는 중첩 의 원리가 적용되는 선형탄성 계에서 변형에너지 로부터 변위 나 하중 을 구하는 방법을 제공하는 정리로, 이탈리아 의 수학자 이자 물리학자 인 카를로 알베르토 카스틸리아노 로부터 그 이름이 붙여졌다. 카스틸리아노의 정리를 이용해 변위나 하중을 구하는 방법을 카스틸리아노의 방법 이라고도 한다.
카스틸리아노의 정리에는 두 가지가 있다.
카스틸리아노의 제1정리 [ 편집 ] “어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 변위
δ
i
{\displaystyle \delta _{i}}
함수 로 나타낼 수 있다면, 변형에너지를 변위에 대해 편미분 한 값은 하중
P
i
{\displaystyle P_{i}}
즉, 변형에너지를
U
{\displaystyle U}
P
i
=
∂
U
∂
δ
i
(
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
)
{\displaystyle P_{i}={\frac {\partial U}{\partial \delta _{i}}}\quad \left(i=1,2,3,...,n\right)}
카스틸리아노의 제2정리 [ 편집 ] “어떠한 탄성 구조물의 변형에너지를 하중
P
i
{\displaystyle P_{i}}
δ
i
{\displaystyle \delta _{i}}
δ
i
=
∂
U
∂
P
i
(
i
=
1
,
2
,
3
,
.
.
.
,
n
)
{\displaystyle \delta _{i}={\frac {\partial U}{\partial P_{i}}}\quad \left(i=1,2,3,...,n\right)}
적용과 한계 [ 편집 ] 적용 예 [ 편집 ] 길이가 L, 휨강성 이 EI인 외팔보 의 자유단에 연직 중력 방향으로 하중
P
1
{\displaystyle P_{1}}
δ
1
{\displaystyle \delta _{1}}
P
1
{\displaystyle P_{1}}
U
=
1
2
E
I
∫
0
L
(
−
P
1
x
)
2
d
x
=
P
1
2
L
3
6
E
I
{\displaystyle U={\frac {1}{2EI}}\int _{0}^{L}{\left(-P_{1}x\right)}^{2}dx={\frac {P_{1}^{2}L^{3}}{6EI}}}
카스틸리아노의 제2정리에 의해
δ
1
=
∂
U
∂
P
1
=
P
1
L
3
3
E
I
{\displaystyle \delta _{1}={\frac {\partial U}{\partial P_{1}}}={\frac {P_{1}L^{3}}{3EI}}}
적용의 한계 [ 편집 ] 카스틸리아노의 정리는 구조물 지점의 침하나 온도 변화 등에 따른 처짐의 계산에는 사용될 수 없다.
같이 보기 [ 편집 ] 외부 링크 [ 편집 ] 
