복소해석학에서 카소라티-바이어슈트라스 정리(-定理, 영어: Casorati-Weierstrass theorem)는 주어진 함수의 본질적 특이점 주위에서의 성질을 다루는 정리이다. 피카르의 대정리는 이 정리의 결론을 강화한다.
연결 열린집합
및 점
가 주어졌고, 정칙 함수
가
을 본질적 특이점으로 갖는다고 하자. 그렇다면, 임의의 근방
에 대하여,
는
의 조밀 집합이다.
귀류법을 사용하여,
가
의 조밀 집합이 아니라고 가정하자. 그렇다면,
가 존재한다. 편의상
라고 하자. 그렇다면,
![{\displaystyle \operatorname {B} (w_{0},\epsilon )\subseteq \mathbb {C} \setminus f(U\setminus \{z_{0}\})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31be3b14151927e5a07f11ffca4b6df6b006a405)
인
이 존재한다. 다음과 같은 함수
를 정의하자.
![{\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-w_{0}}}\qquad \forall z\in U\setminus \{z_{0}\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dac470031c4253a04e0df73c47efe1fa18d47eb)
그렇다면, 임의의
에 대하여,
![{\displaystyle |g(z)|\leq {\frac {1}{\epsilon }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1308624057b2bc049a3546326b5bf8d683de9c)
이므로,
는 유계 함수이다. 또한,
는 정칙 함수이므로,
은
의 제거 가능 특이점이다. 따라서,
은
![{\displaystyle f=w_{0}+{\frac {1}{g}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6292e79060ec2604331cd5f7133bf8b7a18ebd88)
의 제거 가능 특이점이거나, 극점이다. 이는 모순이다.
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