카소라티-바이어슈트라스 정리

복소해석학에서 카소라티-바이어슈트라스 정리(-定理, 영어: Casorati-Weierstrass theorem)는 주어진 함수의 본질적 특이점 주위에서의 성질을 다루는 정리이다. 피카르의 대정리는 이 정리의 결론을 강화한다.

정의

연결 열린집합 $D\subseteq \mathbb {C}$ 및 점 $z_{0}\in D$가 주어졌고, 정칙 함수 $f\colon D\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$가 $z_{0}$을 본질적 특이점으로 갖는다고 하자. 그렇다면, 임의의 근방 $z_{0}\in U\subseteq D$에 대하여, $f(U\setminus \{z_{0}\})$는 ${\widehat {\mathbb {C} }}$의 조밀 집합이다.

증명

귀류법을 사용하여, $f(U\setminus \{z_{0}\})$가 ${\widehat {\mathbb {C} }}$의 조밀 집합이 아니라고 가정하자. 그렇다면, $w_{0}\in {\widehat {\mathbb {C} }}\setminus \operatorname {cl} f(U\setminus \{z_{0}\})$가 존재한다. 편의상 $w_{0}\neq {\widehat {\infty }}$라고 하자. 그렇다면,

$\operatorname {B} (w_{0},\epsilon )\subseteq \mathbb {C} \setminus f(U\setminus \{z_{0}\})$

인 $\epsilon >0$이 존재한다. 다음과 같은 함수 $g\colon U\setminus \{z_{0}\}\to \mathbb {C}$를 정의하자.

$g(z)={\frac {1}{f(z)-w_{0}}}\qquad \forall z\in U\setminus \{z_{0}\}$

그렇다면, 임의의 $z\in U\setminus \{z_{0}\}$에 대하여,

$|g(z)|\leq {\frac {1}{\epsilon }}$

이므로, $g$는 유계 함수이다. 또한, $g$는 정칙 함수이므로, $z_{0}$은 $g$의 제거 가능 특이점이다. 따라서, $z_{0}$은

$f=w_{0}+{\frac {1}{g}}$

의 제거 가능 특이점이거나, 극점이다. 이는 모순이다.

외부 링크

• “Casorati-Sokhotskii-Weierstrass theorem”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “Weierstrass-Casorati theorem”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.