임펄스벡터 (impulse vector, 일명 강벡터 Kang vector)는 잔류진동(residual vibration )을 제거하는 입력성형기(input shaper) 를 도해적으로 설계하거나 해석할 때 사용할 수 있는 수학적 도구이다. 임펄스벡터는 비감쇠시스템(undamped system)과 부족감쇠시스템(underdamped system) 모두에 대해 사용할 수 있을 뿐 아니라, 양의 임펄스(positive impulse )와 음의 임펄스(negative impulse)에 대해 동일한 방법으로 적용할 수 있다.[ 1] 임펄스벡터를 사용하면 입력성형기의 임펄스시간(impulse time)과 임펄스크기(impulse magnitude)를 도해적으로 쉽게 구할 수 있다.
입력성형에 대한 벡터 개념은 양의 임펄스를 가진 비감쇠시스템에 대해 W. Singhose[ 2] 가 처음 제안하였다. 강철구(C.-G. Kang)[ 1] 는 이 Singhose의 벡터 개념을 일반화하여, 비감쇠시스템과 부족감쇠시스템, 그리고 양의 임펄스와 음의 임펄스에 적용할 수 있는 임펄스벡터를 제안하였다.
임펄스함수와 이에 상응하는 임펄스벡터 (혹은 강벡터). (a) 양의 임펄스(
A
i
>
0
{\displaystyle A_{i}>0}
)에 대한 임펄스벡터는 시점을 원점에 두고, (b) 음의 임펄스(
A
i
<
0
{\displaystyle A_{i}<0}
)에 대한 임펄스벡터는 종점을 원점에 둠.
비감쇠 고유진동수(undamped natural frequency )가
ω
n
{\displaystyle \omega _{n}}
, 감쇠비(damping ratio )가
ζ
{\displaystyle \zeta }
인 이차시스템에 대해, 임펄스함수
A
i
δ
(
t
−
t
i
)
,
i
=
1
,
2
,
⋯
,
n
{\displaystyle A_{i}\delta (t-t_{i}),i=1,2,\cdots ,n}
에 해당하는 임펄스벡터 (혹은 강벡터 )
I
i
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{i}}
의 크기
I
i
{\displaystyle I_{i}}
와 각도
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}}
는 2차원 극좌표계 에서 다음과 같이 정의된다.
I
i
=
A
i
e
ζ
ω
n
t
i
{\displaystyle \qquad I_{i}=A_{i}e^{\zeta \omega _{n}t_{i}}}
θ
i
=
ω
d
t
i
{\displaystyle \qquad \theta _{i}=\omega _{d}t_{i}}
여기서
A
i
{\displaystyle A_{i}}
는 임펄스함수의 크기를,
t
i
{\displaystyle t_{i}}
는 임펄스함수의 시간위치를 나타내고,
ω
d
{\displaystyle \omega _{d}}
는 감쇠고유진동수(damped natural frequency)
ω
n
1
−
ζ
2
{\displaystyle \omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}
을 의미한다.
A
i
>
0
{\displaystyle A_{i}>0}
인 양의 임펄스에 대한 임펄스벡터는 시점이 극좌표계의 원점에 위치하고, 반면에
A
i
<
0
{\displaystyle A_{i}<0}
인 음의 임펄스에 대한 임펄스벡터는 종점이 극좌표계의 원점에 위치한다.[ 1] □
{\displaystyle \qquad }
이 정의에서 임펄스벡터의 크기
I
i
{\displaystyle I_{i}}
는
A
i
{\displaystyle A_{i}}
에 시간
t
i
{\displaystyle t_{i}}
동안 감쇠영향을 곱한 것으로서, 감쇠되기 전
A
i
{\displaystyle A_{i}}
의 크기를 나타낸다. 각도
θ
i
{\displaystyle \theta _{i}}
는 임펄스시간
t
i
{\displaystyle t_{i}}
에 감쇠고유진동수
ω
d
{\displaystyle \omega _{d}}
를 곱한 값이다.
δ
(
t
−
t
i
)
{\displaystyle \delta (t-t_{i})}
는 시간
t
i
{\displaystyle t_{i}}
에 작용하는 디락델타함수(Dirac delta function )를 나타낸다. 참고로, 임펄스함수는 순수한 수학적 양인데 비해, 임펄스벡터는 수학적 임펄스함수에 추가적으로 물리량인
ω
n
{\displaystyle \omega _{n}}
과
ζ
{\displaystyle \zeta }
를 내포하고 있다. 두개 이상의 임펄스벡터를 하나의 극좌표계에 표시한 것을 임펄스벡터선도 (impulse vector diagram)라고 한다. 임펄스벡터선도는 임펄스열(impulse sequence)을 도해적으로 나타낸 것이라고 볼 수 있다.
ω
n
=
2
π
{\displaystyle \omega _{n}=2\pi }
이고
ζ
=
0.2
{\displaystyle \zeta =0.2}
인 이차시스템에 대해
A
1
=
1
{\displaystyle A_{1}=1}
,
t
1
=
0.2
{\displaystyle t_{1}=0.2}
s 일 때 두 임펄스벡터와 상응하는 두 임펄스응답. (a) 크기가 같고 각도가
π
{\displaystyle \pi }
만큼 차이나는 두 임펄스벡터
I
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}}
과
I
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}}
. 원점으로부터 바깥을 향하는
I
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}}
과 원점을 향하는
I
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}}
는 덧셈과 뺄셈에서 같은 벡터로 간주됨. (b)
I
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}}
과
I
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}}
에 상응하는 두 임펄스응답
y
1
{\displaystyle y_{1}}
과
y
2
{\displaystyle y_{2}}
는 마지막 임펄스시간
t
2
{\displaystyle t_{2}}
이후에 정확히 일치함.
오른쪽 그림과 같은 두 임펄스벡터
I
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}}
과
I
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}}
를 고려해보자. 임펄스벡터
I
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}}
은 양의 임펄스
A
1
>
0
{\displaystyle A_{1}>0}
에 해당하는 크기
I
1
(
>
0
)
{\displaystyle I_{1}(>0)}
과 각도
θ
1
{\displaystyle \theta _{1}}
을 가지고 있고, 임펄스벡터
I
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}}
는 음의 임펄스
A
2
<
0
{\displaystyle A_{2}<0}
에 해당하는 크기
I
2
=
−
I
1
{\displaystyle I_{2}=-I_{1}}
과 각도
θ
2
=
θ
1
+
π
{\displaystyle \theta _{2}=\theta _{1}+\pi }
를 가지고 있을 때,
I
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}}
과
I
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}}
에 상응하는 두 시간응답은 마지막 임펄스시간
t
2
{\displaystyle t_{2}}
이후에 정확히 일치하므로, 벡터 더하기나 빼기에서 두 임펄스벡터
I
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}}
과
I
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}}
는 동일한 벡터 로 간주된다. 임펄스벡터는 교환법칙 , 결합법칙 , 스칼라곱에 대한 분배법칙 을 만족한다.
임펄스벡터의 크기는 임펄스크기를 결정하고, 임펄스벡터의 각도는 임펄스시간을 결정한다. 임펄스벡터선도에서 1회전에 해당하는 각도
2
π
{\displaystyle 2\pi }
는 상응하는 임펄스응답의 1주기 (감쇠주기)에 해당한다.
비감쇠시스템(
ζ
=
0
{\displaystyle \zeta =0}
)이면 임펄스벡터의 크기와 각도는
I
i
=
A
i
{\displaystyle I_{i}=A_{i}}
와
θ
i
=
ω
n
t
i
{\displaystyle \theta _{i}=\omega _{n}t_{i}}
로 표현된다.
(a) 두 임펄스벡터의 합벡터에 대한 두가지 표현
I
R
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{R1}}
과
I
R
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{R2}}
, (b) 각각에 상응하는 임펄스응답
y
R
1
{\displaystyle y_{R1}}
과
y
R
2
{\displaystyle y_{R2}}
.
두 임펄스벡터의 합벡터에 상응하는 이차시스템의 임펄스응답(impulse response )은 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 두 임펄스벡터에 상응하는 두 임펄스입력을 가진 이차시스템의 응답과 최종 임펄스시간 이후에 동일하다. □
성질 2. 임펄스벡터의 합이 0인 경우[ 편집 ]
임펄스벡터들의 합벡터가 0이면, 상응하는 임펄스열을 입력으로 가진 이차시스템의 시간응답은, 비감쇠시스템이든 부족감쇠시스템이든 관계없이, 마지막 임펄스시간 이후에 0이다. □
{\displaystyle \qquad }
(a) 임펄스벡터
I
3
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{3}}
을 추가하여 합벡터를 0으로 만듬. (b) 이에 상응하는 임펄스열
A
1
δ
(
t
)
+
A
2
δ
(
t
−
t
2
)
+
A
3
δ
(
t
−
t
3
)
{\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})}
에 대한 이차시스템(
ω
n
=
2
π
,
ζ
=
0.1
{\displaystyle \omega _{n}=2\pi ,\zeta =0.1}
)의 시간응답은 마지막 임펄스시간
t
3
{\displaystyle t_{3}}
이후에 잔류진동을 제거함.
전달함수(transfer function )가
4
π
2
/
(
s
2
+
0.4
s
+
4
π
2
)
{\displaystyle 4\pi ^{2}/(s^{2}+0.4s+4\pi ^{2})}
인 부족감쇠 이차시스템을 생각해보자. 이 시스템의 고유진동수는
ω
n
=
2
π
{\displaystyle \omega _{n}=2\pi }
rad/s이고 감쇠비는
ζ
=
0.1
{\displaystyle \zeta =0.1}
이다. 그림과 같은 두 임펄스벡터
I
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}}
과
I
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}}
에 대해 합벡터는
I
R
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{R1}}
과
I
R
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{R2}}
의 두가지로 표현될 수 있다. 합벡터
I
R
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{R1}}
은 크기가
A
R
1
=
I
R
1
/
e
ζ
ω
n
t
R
1
{\displaystyle A_{R1}=I_{R1}/e^{\zeta \omega _{n}t_{R1}}}
이고 시간이
t
R
1
=
θ
R
1
/
ω
d
{\displaystyle t_{R1}=\theta _{R1}/\omega _{d}}
인 음의 임펄스에 해당하는 임펄스벡터이고,
I
R
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{R2}}
는 크기가
A
R
2
=
I
R
2
/
e
ζ
ω
n
t
R
2
{\displaystyle A_{R2}=I_{R2}/e^{\zeta \omega _{n}t_{R2}}}
이고 시간이
t
R
2
=
θ
R
2
/
ω
d
{\displaystyle t_{R2}=\theta _{R2}/\omega _{d}}
인 양의 임펄스에 해당하는 임펄스벡터이다.
합벡터
I
R
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{R1}}
과
I
R
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{R2}}
는 다음과 구해질 수 있다.
R
x
=
I
1
+
I
2
c
o
s
θ
2
,
R
y
=
I
2
s
i
n
θ
2
{\displaystyle \qquad R_{x}=I_{1}+I_{2}cos\theta _{2},\qquad R_{y}=I_{2}sin\theta _{2}}
I
R
1
=
−
R
x
2
+
R
y
2
,
θ
R
1
=
π
+
tan
−
1
(
R
y
/
R
x
)
{\displaystyle \qquad I_{R1}=-{\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}},\qquad \theta _{R1}=\pi +\tan ^{-1}(R_{y}/R_{x})}
I
R
2
=
R
x
2
+
R
y
2
,
θ
R
2
=
tan
−
1
(
R
y
/
R
x
)
{\displaystyle \qquad I_{R2}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}},\qquad \ \ \theta _{R2}=\tan ^{-1}(R_{y}/R_{x})}
참고로
−
π
/
2
<
tan
−
1
(
a
)
<
π
/
2
{\displaystyle -\pi /2<\tan ^{-1}(a)<\pi /2}
이다.
I
R
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{R1}}
과
I
R
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{R2}}
에 상응하는 임펄스응답
y
R
1
{\displaystyle y_{R1}}
과
y
R
2
{\displaystyle y_{R2}}
는, 오른쪽 그림 (b)의 녹색선에서 보듯이, 각각의 임펄스시간 이후에
y
1
+
y
2
{\displaystyle y_{1}+y_{2}}
와 정확히 일치한다.
이제 합벡터를 0으로 만들기 위해
I
1
+
I
2
{\displaystyle \mathbf {I} _{1}+\mathbf {I} _{2}}
에 세번째 임펄스벡터
I
3
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{3}}
을 그림과 같이 추가해보자. 임펄스벡터
I
3
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{3}}
은 다음과 같이 구해질 수 있다.
I
3
=
R
x
2
+
R
y
2
,
θ
3
=
π
+
tan
−
1
(
R
y
/
R
x
)
{\displaystyle \qquad I_{3}={\sqrt {R_{x}^{2}+R_{y}^{2}}},\qquad \theta _{3}=\pi +\tan ^{-1}(R_{y}/R_{x})}
임펄스벡터
I
1
,
I
2
,
I
3
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1},{\mathbf {I}}_{2},{\mathbf {I}}_{3}}
에 상응하는 임펄스열을 이차시스템에 입력으로 가하면, 오른쪽 시간응답 (b)의 빨간선에서 보듯이, 마지막 임펄스시간
t
3
{\displaystyle t_{3}}
이후에 잔류진동이 사라진다. 물론 합벡터를 0으로 만드는 임펄스벡터
I
3
′
{\displaystyle \mathbf {I} _{3}^{'}}
도 존재할 수 있다.
I
3
′
{\displaystyle \mathbf {I} _{3}^{'}}
은
I
3
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{3}}
과 크기는 같으나 각도가
π
{\displaystyle \pi }
만큼 더 커서, 상응하는 시간응답은 반주기 더 지나서 잔류진동을 제거한다.
적용: 임펄스벡터를 이용한 입력성형기 설계[ 편집 ]
임펄스벡터를 사용하면, 잘 알려진 기존의 ZV 성형기(zero vibration shaper), ZVD 성형기(zero vibration and derivative shaper), ZVDn 성형기 등[ 3] 을 쉽게 재설계할 수 있다.[ 1]
임펄스벡터선도. (a) ZV 성형기, (b) ZVD 성형기, (c) ZVD2 성형기, (d) ZVD3 성형기.
ZV 성형기는 두개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 첫번째 임펄스벡터는 0°에, 두번째 임펄스벡터는, 합벡터
I
1
+
I
2
=
0
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}+{\mathbf {I}}_{2}={\mathbf {0}}}
이 되도록, 180°에 위치시킨다. 그러면 다음 식이 성립한다.
θ
1
=
0
,
θ
2
=
π
∴
t
1
=
0
,
t
2
=
π
/
ω
d
{\displaystyle \qquad \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi \qquad \therefore t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d}}
I
1
=
I
2
=
I
{\displaystyle \qquad I_{1}=I_{2}=I}
그리고 정규화조건
A
1
+
A
2
=
1
{\displaystyle A_{1}+A_{2}=1}
이 만족되어야 하므로 다음과 같이 쓸 수 있다.
I
1
+
I
2
/
e
ζ
ω
n
t
2
=
I
+
I
/
K
=
1
∴
I
=
K
K
+
1
,
K
=
e
ζ
π
/
1
−
ζ
2
{\displaystyle \qquad I_{1}+I_{2}/e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}=I+I/K=1\qquad \therefore I={\frac {K}{K+1}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}
따라서 ZV 성형기
A
1
δ
(
t
)
+
A
2
δ
(
t
−
t
2
)
{\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})}
는 다음과 같이 주어진다.
[
t
i
A
i
]
=
[
0
π
/
ω
d
K
/
(
K
+
1
)
1
/
(
K
+
1
)
]
{\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\pi /\omega _{d}\\K/(K+1)&1/(K+1)\end{bmatrix}}}
ZVD 성형기는 세개의 임펄스벡터로 구성된다. 임펄스벡터선도에서 벡터합이
I
1
+
I
2
+
I
3
=
0
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}+{\mathbf {I}}_{2}+{\mathbf {I}}_{3}={\mathbf {0}}}
이 되도록 첫번째 임펄스벡터는 0 rad에, 두번째 임펄스벡터는
π
{\displaystyle \pi }
rad에, 세번째 임펄스벡터는
2
π
{\displaystyle 2\pi }
rad에 두되, 크기비를
I
1
:
I
2
:
I
3
=
1
:
2
:
1
{\displaystyle I_{1}:I_{2}:I_{3}=1:2:1}
로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.
θ
1
=
0
,
θ
2
=
π
,
θ
3
=
2
π
∴
t
1
=
0
,
t
2
=
π
/
ω
d
,
t
3
=
2
π
/
ω
d
{\displaystyle \qquad \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi ,\ \ \theta _{3}=2\pi \qquad \therefore t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d},\ \ t_{3}=2\pi /\omega _{d}}
I
1
=
I
3
=
I
,
I
2
=
2
I
{\displaystyle \qquad I_{1}=I_{3}=I,\ \ I_{2}=2I}
그리고
A
1
+
A
2
+
A
3
=
1
{\displaystyle A_{1}+A_{2}+A_{3}=1}
이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
I
1
+
I
2
e
ζ
ω
n
t
2
+
I
3
e
ζ
ω
n
t
3
=
I
+
2
I
K
+
I
K
2
=
1
∴
I
=
K
2
(
K
+
1
)
2
,
K
=
e
ζ
π
/
1
−
ζ
2
{\displaystyle \qquad I_{1}+{\frac {I_{2}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}}}+{\frac {I_{3}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}}=I+{\frac {2I}{K}}+{\frac {I}{K^{2}}}=1\qquad \therefore I={\frac {K^{2}}{(K+1)^{2}}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}
따라서 ZVD 성형기
A
1
δ
(
t
)
+
A
2
δ
(
t
−
t
2
)
+
A
3
δ
(
t
−
t
3
)
{\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})}
는 다음과 같이 주어진다.
[
t
i
A
i
]
=
[
0
,
π
/
ω
d
,
2
π
/
ω
d
K
2
/
(
K
+
1
)
2
,
2
K
/
(
K
+
1
)
2
,
1
/
(
K
+
1
)
2
]
{\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\K^{2}/(K+1)^{2},&2K/(K+1)^{2},&1/(K+1)^{2}\end{bmatrix}}}
ZVD2 성형기는 4개의 임펄스벡터로 구성된다. 벡터합이
I
1
+
I
2
+
I
3
+
I
4
=
0
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}+{\mathbf {I}}_{2}+{\mathbf {I}}_{3}+{\mathbf {I}}_{4}={\mathbf {0}}}
이 되도록,
I
1
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{1}}
은 0 rad에,
I
2
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{2}}
는
π
{\displaystyle \pi }
rad에,
I
3
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{3}}
은
2
π
{\displaystyle 2\pi }
rad에,
I
4
{\displaystyle {\mathbf {I}}_{4}}
는
3
π
{\displaystyle 3\pi }
rad에 두되, 크기비를
I
1
:
I
2
:
I
3
:
I
4
=
1
:
3
:
3
:
1
{\displaystyle I_{1}:I_{2}:I_{3}:I_{4}=1:3:3:1}
로 둔다. 그러면 다음과 같이 쓸 수 있다.
θ
1
=
0
,
θ
2
=
π
,
θ
3
=
2
π
,
θ
4
=
3
π
∴
t
1
=
0
,
t
2
=
π
/
ω
d
,
t
3
=
2
π
/
ω
d
,
t
4
=
3
π
/
ω
d
{\displaystyle \qquad \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}=\pi ,\ \ \theta _{3}=2\pi ,\ \ \theta _{4}=3\pi \qquad \therefore t_{1}=0,\ \ t_{2}=\pi /\omega _{d},\ \ t_{3}=2\pi /\omega _{d},\ \ t_{4}=3\pi /\omega _{d}}
I
1
=
I
4
=
I
,
I
2
=
I
3
=
3
I
{\displaystyle \qquad I_{1}=I_{4}=I,\ \ I_{2}=I_{3}=3I}
그리고
A
1
+
A
2
+
A
3
+
A
4
=
1
{\displaystyle A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}=1}
이어야 하므로, 다음과 같이 쓸 수 있다.
I
1
+
I
2
e
ζ
ω
n
t
2
+
I
3
e
ζ
ω
n
t
3
+
I
4
e
ζ
ω
n
t
4
=
I
+
3
I
K
+
3
I
K
2
+
I
K
3
=
1
∴
I
=
K
3
(
K
+
1
)
3
,
K
=
e
ζ
π
/
1
−
ζ
2
{\displaystyle \qquad I_{1}+{\frac {I_{2}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{2}}}}+{\frac {I_{3}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}}+{\frac {I_{4}}{e^{\zeta \omega _{n}t_{4}}}}=I+{\frac {3I}{K}}+{\frac {3I}{K^{2}}}+{\frac {I}{K^{3}}}=1\qquad \therefore I={\frac {K^{3}}{(K+1)^{3}}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}
따라서 ZVD2 성형기
A
1
δ
(
t
)
+
A
2
δ
(
t
−
t
2
)
+
A
3
δ
(
t
−
t
3
)
+
A
4
δ
(
t
−
t
4
)
{\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})+A_{4}\delta (t-t_{4})}
는 다음과 같이 주어진다.
[
t
i
A
i
]
=
[
0
,
π
/
ω
d
,
2
π
/
ω
d
,
3
π
/
ω
d
K
3
/
(
K
+
1
)
3
,
3
K
2
/
(
K
+
1
)
3
,
3
K
/
(
K
+
1
)
3
,
1
/
(
K
+
1
)
3
]
{\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d},&3\pi /\omega _{d}\\K^{3}/(K+1)^{3},&3K^{2}/(K+1)^{3},&3K/(K+1)^{3},&1/(K+1)^{3}\end{bmatrix}}}
같은 방법으로, ZVD3 성형기는 5개의 임펄스벡터로 구성되는데, 이 임펄스벡터를 0,
π
{\displaystyle \pi }
,
2
π
{\displaystyle 2\pi }
,
3
π
{\displaystyle 3\pi }
,
4
π
{\displaystyle 4\pi }
rad에 배치하고, 크기비를
I
1
:
I
2
:
I
3
:
I
4
:
I
5
=
1
:
4
:
6
:
4
:
1
{\displaystyle I_{1}:I_{2}:I_{3}:I_{4}:I_{5}=1:4:6:4:1}
로 둠으로써 구할 수 있다.
일반적으로, ZVDn 성형기는
(
n
+
2
)
{\displaystyle (n+2)}
개의 임펄스벡터로 구성되는데,
i
{\displaystyle i}
번째 임펄스벡터를
(
i
−
1
)
π
{\displaystyle (i-1)\pi }
rad에 배치하고, 크기비를
I
1
:
I
2
:
I
3
:
⋯
:
I
n
+
2
=
n
+
1
C
0
:
n
+
1
C
1
:
n
+
1
C
2
:
⋯
:
n
+
1
C
n
+
1
{\displaystyle I_{1}:I_{2}:I_{3}:\cdots :I_{n+2}={}_{n+1}\!C_{0}:{}_{n+1}\!C_{1}:{}_{n+1}\!C_{2}:\cdots :{}_{n+1}\!C_{n+1}}
로 둠으로써 구할 수 있다. 여기서
m
C
k
{\displaystyle {}_{m}\!C_{k}}
는 수학의 조합을 의미한다.
이제 임펄스벡터의 크기는 같고 임펄스벡터의 각도는
2
π
{\displaystyle 2\pi }
rad을 등간격으로 나눈 ETM 성형기 (Equal shaping-Time and Magnitudes shaper)[ 1] 를 생각해보자. ETMn 성형기는 다음 조건을 만족한다.
임펄스벡터선도. (a) ETM4 성형기, (b) ETM5 성형기, (c) ETM6 성형기.
θ
1
=
0
,
θ
2
=
2
π
n
−
1
,
⋯
,
θ
n
−
1
=
(
n
−
2
)
2
π
n
−
1
,
θ
n
=
2
π
{\displaystyle \qquad \theta _{1}=0,\ \ \theta _{2}={\frac {2\pi }{n-1}},\ \ \cdots ,\ \ \theta _{n-1}={\frac {(n-2)2\pi }{n-1}},\ \ \theta _{n}=2\pi }
I
2
=
I
3
=
⋯
=
I
n
−
1
=
I
1
+
I
n
,
I
n
=
m
I
1
(
m
>
0
)
{\displaystyle \qquad I_{2}=I_{3}=\cdots =I_{n-1}=I_{1}+I_{n},\ \ I_{n}=mI_{1}\ \ (m>0)}
∑
i
=
1
n
A
i
=
1
{\displaystyle \qquad \sum _{i=1}^{n}A_{i}=1}
그러면
n
≥
2
{\displaystyle n\geq 2}
에 대해 ETMn 성형기의 임펄스벡터합은 항상 0이다. ETMn 성형기의 한 장점은, ZVDn 성형기나 EI 성형기(extra insensitive shaper)[ 4] 와 달리,
n
{\displaystyle n}
이 아무리 늘어나더라도 성형시간(shaping time)은 항상 한 주기(감쇠주기)라는 것이다.
4개의 임펄스벡터로 구성된 ETM4 성형기는 위 조건과 임펄스벡터의 정의로부터 다음과 같이 구해진다.
[
t
i
A
i
]
=
[
0
,
(
2
π
/
3
)
/
ω
d
,
(
4
π
/
3
)
/
ω
d
,
2
π
/
ω
d
I
/
(
1
+
m
)
,
I
/
K
2
/
3
,
I
/
K
4
/
3
,
m
I
/
{
(
1
+
m
)
K
2
}
]
{\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&(2\pi /3)/\omega _{d},&(4\pi /3)/\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\I/(1+m),&I/K^{2/3},&I/K^{4/3},&mI/{\{(1+m)K^{2}\}}\end{bmatrix}}}
I
=
(
1
+
m
)
K
2
K
2
+
(
1
+
m
)
(
K
4
/
3
+
K
2
/
3
)
+
m
,
K
=
e
ζ
π
/
1
−
ζ
2
{\displaystyle \qquad \qquad I={\frac {(1+m)K^{2}}{K^{2}+(1+m)(K^{4/3}+K^{2/3})+m}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}
5개의 임펄스벡터로 구성된 ETM5 성형기는 위 조건과 임펄스벡터의 정의로부터 다음과 같이 얻어진다.
[
t
i
A
i
]
=
[
0
,
0.5
π
/
ω
d
,
π
/
ω
d
,
1.5
π
/
ω
d
,
2
π
/
ω
d
I
/
(
1
+
m
)
,
I
/
K
1
/
2
,
I
/
K
,
I
/
K
3
/
2
,
m
I
/
{
(
1
+
m
)
K
2
}
]
{\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&0.5\pi /\omega _{d},&\pi /\omega _{d},&1.5\pi /\omega _{d},&2\pi /\omega _{d}\\I/(1+m),&I/K^{1/2},&I/K,&I/K^{3/2},&mI/{\{(1+m)K^{2}\}}\end{bmatrix}}}
I
=
(
1
+
m
)
K
2
K
2
+
(
1
+
m
)
(
K
3
/
2
+
K
+
K
1
/
2
)
+
m
,
K
=
e
ζ
π
/
1
−
ζ
2
{\displaystyle \qquad \qquad I={\frac {(1+m)K^{2}}{K^{2}+(1+m)(K^{3/2}+K+K^{1/2})+m}},\ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}
같은 방법으로,
n
≥
6
{\displaystyle n\geq 6}
에 대한 ETMn 성형기를 쉽게 구할 수 있다. 일반적으로 ETM 성형기는 양의 큰 모델링오차에 대해 ZVDn 성형기보다 더 큰 견실성(robustness )을 갖는 이점이 있다.
참고로, ZVD 성형기는
m
=
1
{\displaystyle m=1}
인 ETM3 성형기이다.
음의 임펄스를 가진 NMe 성형기의 임펄스벡터선도.
임펄스벡터는 음의 임펄스를 가진 입력성형기를 설계할 때도 사용될 수 있다. 세 임펄스벡터의 크기가
I
1
=
I
(
>
0
)
,
I
2
=
−
I
,
I
3
=
I
{\displaystyle I_{1}=I\ (>0),\ I_{2}=-I,\ I_{3}=I}
이고 각도가
θ
1
=
0
,
θ
2
=
π
/
3
,
θ
3
=
2
π
/
3
{\displaystyle \theta _{1}=0,\ \theta _{2}=\pi /3,\ \theta _{3}=2\pi /3}
인 NMe 성형기(Negative equal-Magnitude shaper)[ 1] 를 생각해보자. 이 세 임펄스벡터의 합은 0이므로 잔류진동은 제거된다. NMe 성형기의 임펄스시간은
t
2
=
(
π
/
3
)
/
ω
d
,
t
3
=
(
2
π
/
3
)
/
ω
d
{\displaystyle t_{2}=(\pi /3)/\omega _{d},\ t_{3}=(2\pi /3)/\omega _{d}}
로 주어지고, 임펄스크기
A
i
{\displaystyle A_{i}}
는 다음 연립방정식으로부터 얻어진다.
A
1
=
I
,
A
2
=
−
I
/
e
ζ
ω
n
t
2
,
A
3
=
I
/
e
ζ
ω
n
t
3
{\displaystyle \qquad A_{1}=I,A_{2}=-I/e^{\zeta \omega _{n}t_{2}},\ \ A_{3}=I/e^{\zeta \omega _{n}t_{3}}}
A
1
+
A
2
+
A
3
=
1
{\displaystyle \qquad A_{1}+A_{2}+A_{3}=1}
얻어진 NMe 성형기
A
1
δ
(
t
)
+
A
2
δ
(
t
−
t
2
)
+
A
3
δ
(
t
−
t
3
)
{\displaystyle A_{1}\delta (t)+A_{2}\delta (t-t_{2})+A_{3}\delta (t-t_{3})}
은 다음과 같다.
[
t
i
A
i
]
=
[
0
,
(
π
/
3
)
/
ω
d
,
(
2
π
/
3
)
/
ω
d
I
,
−
I
/
K
1
/
3
,
I
/
K
2
/
3
]
{\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}t_{i}\\A_{i}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0,&(\pi /3)/\omega _{d},&(2\pi /3)/\omega _{d}\\I,&-I/K^{1/3},&I/K^{2/3}\end{bmatrix}}}
I
=
K
/
(
K
−
K
2
/
3
+
K
1
/
3
)
,
K
=
e
ζ
π
/
1
−
ζ
2
{\displaystyle \qquad \qquad I=K/(K-K^{2/3}+K^{1/3}),\ \ \ K=e^{\zeta \pi /{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}
NMe 성형기는 ZVD 성형기보다 더 짧은 성형시간을 갖는 장점이 있지만, 모델링오차에 대해 더 나쁜 견실성을 갖는 단점이 있다. 참고로, 비감쇠시스템(
ζ
=
0
{\displaystyle \zeta =0}
)이면 NMe 성형기는 기존에 알려진 UM성형기(unity-magnitude shaper)[ 5] 가 된다.
아래 그림 (a)는 전형적인 입력성형 제어시스템의 블록선도를 보여주고 있고, 그림 (b)는 여러 가지 입력성형기의 잔류진동 제거성능을 나타내는 계단응답을 보여주고 있다.
(a) 전형적인 입력성형 제어시스템의 블록선도, (b) 모델링오차가 없을 때, 입력성형기를 가진 이차시스템
4
π
2
/
(
s
2
+
0.4
π
s
+
4
π
2
)
{\displaystyle 4\pi ^{2}/(s^{2}+0.4\pi s+4\pi ^{2})}
의 계단응답.
입력성형기에서
ω
n
{\displaystyle \omega _{n}}
과
ζ
{\displaystyle \zeta }
의 모델링오차에 대한 견실성은 민감도곡선(sensitivity curve)으로 표현된다. 위 여러 가지 입력성형기에 대한 민감도곡선은 참고 문헌[ 1] 을 참고하기 바란다.
↑ 가 나 다 라 마 바 사 Kang, Chul-Goo (August 2019). “Impulse vectors for input shaping control: A mathematical tool to design and analyze input shapers” (PDF) . 《IEEE Control Systems Magazine》 39 (4): 40–55. doi :10.1109/MCS.2019.2913610 . S2CID 198145461 . [깨진 링크 (과거 내용 찾기 )]
↑ Singhose, W.; Seering, W.; Singer, N. (1994). “Residual vibration reduction using vector diagrams to generate shaped inputs”. 《Journal of Mechanical Design》 116 (2): 654–659. doi :10.1115/1.2919428 .
↑ Singhose, W. (2009). “Command shaping for flexible systems: A review of the first 50 years”. 《International Journal of Precision Engineering and Manufacturing》 10 (4): 153–168. doi :10.1007/s12541-009-0084-2 . S2CID 111341954 .
↑ Singhose, W.; Derezinski, S.; Singer, N. (1996). “Extra-insensitive input shapers for controlling flexible spacecraft”. 《Journal of Guidance, Control and Dynamics》 19 (2): 385–391. Bibcode :1996JGCD...19..385S . doi :10.2514/3.21630 .
↑ Singhose, W. E.; Seering, W. P.; Singer, N. C. (1997). “Time-optimal negative input shapers”. 《Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control》 119 (2): 198–205. doi :10.1115/1.2801233 .