막 스캔

초끈 이론에서 막 스캔(幕scan, 영어: brane scan)은 각 차원에서 존재할 수 있는 BPS 막들의 분류이다.

정의

$p$ 차원 막이 $D$ 차원 시공간 속에서 움직인다고 하자. 이는 매장

\xi \colon \mathbb {R} ^{p+1}\to \mathbb {R} ^{D-1,1}

으로 주어진다. 편의상 정적 게이지(영어: static gauge)를 사용하여, 이를

\xi =(\xi ^{\perp },\operatorname {id} )

\xi ^{\perp }\colon \mathbb {R} ^{p+1}\to \mathbb {R} ^{D-p-1}

로 나타낼 수 있다. 즉, $p$ 차원 막은 $D-p-1$ 개의 보손 자유도를 갖는다.

이제, 세계 부피 초대칭을 위하여, 페르미온을 생각하자. 페르미온은 세계 부피 로런츠 군 $\operatorname {SO} (p,1)$ 의 스피너 표현을 따른다. 이 차원에서의 최소 비(非)손지기 스피너(즉, 디랙 스피너 또는 마요라나 스피너)의 실수 성분의 수가

M={\begin{cases}2^{\lfloor (p+1)/2\lfloor }&(p-1){\bmod {8}}\in \{0,\pm 1,\pm 2\}\\2^{\lfloor (p+1)/2\lfloor +1}&(p-1){\bmod {8}}\not \in \{0,\pm 1,\pm 2\}\end{cases}}

이라고 하고, 초대칭 수가 ${\mathcal {N}}=2^{n}$ 이라고 하자. 그렇다면, 그 질량 껍질 위 자유도의 수는

{\frac {1}{4}}M2^{n}

이다. 여기서 인자 ¼는 다음과 같다.

즉, 초대칭 막이 존재하려면 다음이 성립해야 한다.

D-p-1={\frac {1}{2}}M2^{n}

마지막으로, $D$ 차원 초중력의 존재에 의하여,

D\leq 11

이다.

이에 따라, 가능한 초대칭 막은 다음 12개이다.^[1]^{:443, Table 1}

특히, 만약 $(D,p)$ 가 가능하다면 $(D-1,p-1)$ 역시 가능함을 알 수 있다. 이는 물리학적으로 $D$ 차원 시공간을 한 차원 축소화하고, $p$ -막을 축소화한 차원에 감는 것에 해당한다. 이렇게 하면, 막들은 다음과 같은 네 개의 족으로 분류된다.

$D-p-1=8$ . $(D,p)=(11,2)$ 일 때 이는 M2-막에 해당하며, $(D,p)=(10,1)$ 일 때 이는 초끈 이론의 끈에 해당한다.
$D-p-1=4$ . $(D,p)=(6,1)$ 일 때 이는 꼬마 끈 이론에 해당한다.
$D-p-1=2$
$D-p-1=1$

이 분류는 세계 부피에 스칼라장 이외의 보손 장이 존재하지 않는 것을 전제로 한다. 만약 기타 보손 장이 존재한다면 추가 종류의 막들이 가능하다. 예를 들어, D-막은 일반적으로 세계 부피에 미분 형식 장들을 갖는다.

막 스캔은 사실 각 차원의 초대칭 대수의 중심 전하의 존재를 나타낸다.^[2] 구체적으로, 각 차원에서 감마 행렬들을 조합하여, 다음과 같은 반대칭 연산자들을 만들 수 있다.^[3]^{:59, Table 3.2}

여기서, “감마 행렬 반대칭 텐서 지표 수”가 $p$ 라면, 임의의 두 (최소 표현) 스피너 $\chi ,\psi$ 에 대하여 다음이 성립한다.

{\bar {\psi }}\gamma _{\mu _{1}\dotso \mu _{p}}\chi =-{\bar {\chi }}\gamma _{\mu _{1}\dotso \mu _{p}}\psi

\gamma {\mu _{1}\dotso \mu _{p}}=\gamma _{[\mu _{1}}\gamma _{\mu _{2}}\dotsm \gamma _{\mu _{p}]}

위 표의 성분은 법 4에 대한 것이다. 즉, $p$ 가 가능하다면 $p+4$ , $p+8$ , … 역시 가능하다.

예를 들어, $d=4$ 의 마요라나 스피너 $\psi$ 에 대하여, $p=2$ 가 수록돼 있으므로,

{\bar {\psi }}\gamma _{\mu \nu }\chi =-{\bar {\chi }}\gamma _{\mu \nu }\psi

{\bar {\psi }}\gamma _{\mu _{1}\dotso \mu _{6}}\chi =-{\bar {\chi }}\gamma _{\mu _{1}\dotso \mu _{6}}\psi

이다. 마찬가지로, $d=7$ 일 때, $p=0$ 이 수록돼 있으므로,

{\bar {\psi }}\chi =-{\bar {\chi }}\psi

이다.

이 표로부터, 각 차원에 존재하는 초대칭 대수의 중심 전하들을 읽을 수 있으며, 이는 각 차원에 존재하는 막에 대응한다. 예를 들어, $d=11$ 일 때, ${\mathcal {N}}=1$ 초대칭 대수는 다음과 같은 두 중심 전하를 갖는다.^[4]^{:(1), §2}

\{Q_{\alpha },{\bar {Q}}_{\beta }\}=\gamma _{\alpha \beta }^{\mu }P_{\mu }+{\frac {1}{2}}\gamma _{\alpha \beta }^{\mu \nu }Z_{\mu \nu }+{\frac {1}{5!}}\gamma _{\alpha \beta }^{\mu \nu \rho \sigma \tau }Z_{\mu \nu \rho \sigma \tau }

이는 위 표에서 $p=1,2{\bmod {4}}$ 의 존재에 해당한다. 따라서, 11차원 초중력(M이론)에는 M2-막과 M5-막이 존재할 수 있다.

1987년에 스칼라장 이외의 텐서장이 없다는 가정 아래 최초로 도입되었다.^[1] 이후 텐서장 등을 포함한 막들이 역시 마찬가지로 분류되었다.^[5]

“막 스캔”(영어: brane scan 브레인 스캔^[*])이라는 이름은 뇌 스캔(영어: brain scan 브레인 스캔^[*])에 대한 언어 유희이다.

↑ ^가 ^나 Achúcarro, A.; Evans, J. M.; Townsend, P. K.; Wiltshire, D. L. (1987). “Super p-branes”. 《Physics Letters B》 (영어) 198 (4): 441–446. Bibcode:1987PhLB..198..441A. doi:10.1016/0370-2693(87)90896-3.
↑ Fiorenza, Domenico; Sati, Hisham; Schreiber, Urs (2015년 2월). “Super-Lie n-algebra extensions, higher WZW models and super p-branes with tensor multiplet fields”. 《International Journal of Geometric Methods in Modern Physics》 (영어) 12 (2): 1550018. arXiv:1308.5264. doi:10.1142/S0219887815500188. ISSN 0219-8878.
↑ Freedman, Daniel Z.; Van Proeyen, Antoine. 《Supergravity》 (영어).
↑ de Wit, B.; Nicolai, H. “Hidden symmetries, central charges and all that” (영어). arXiv:hep-th/0011239.
↑ Duff, Michael James; Lu, J. X. (1993). “Type II p-branes: the brane-scan revisited”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 390: 276–290. arXiv:hep-th/9207060. doi:10.1016/0550-3213(93)90457-Z.