레비 붕괴

집합론에서, 레비 붕괴(לוי崩壞, 영어: Lévy collapse)는 강제법에서 특정한 두 기수 사이의 다른 기수들을 없애는 작용을 하는 부분 순서 집합이다.

정의

서로 다른 두 기수 $\lambda <\kappa$가 주어졌다고 하자. 그렇다면, ($\lambda ,\kappa )$-레비 붕괴 $\operatorname {Col} (\lambda ,\kappa )\subseteq \operatorname {Pfn} (\kappa \times \lambda ,\kappa ;\lambda )$는 다음과 같은, 부분 정의 함수 집합 $\operatorname {Pfn} (\kappa \times \lambda ,\kappa ;\lambda )$의 부분 집합이다.^:(15.19)

$\forall f\in \operatorname {Pfn} (\kappa \times \lambda ,\kappa ;\lambda )\colon \left(f\in \operatorname {Col} (\lambda ,\kappa )\iff \forall (\alpha ,\beta )\in \kappa \times \lambda \colon f(\alpha ,\beta )<\alpha \right)$

성질

순서론적 성질

$\operatorname {Col} (\lambda ,\kappa )$는 $\kappa$-강상향 반사슬 조건을 만족시킨다. 따라서, $\operatorname {Col} (\lambda ,\kappa )$에 대한 강제법은 $\kappa$ 이상의 기수들을 보존한다.

강제법적 성질

ZFC의 표준 추이적 모형 $M$과 $X,Y\in M$ 및 무한 순서수 $\lambda ,\kappa \in M\cap \operatorname {Ord}$가 주어졌으며, $\lambda <\kappa$이며, $M$ 속에서 $\lambda$와 $\kappa$가 기수라고 하자.

$M\models (\lambda ,\kappa \in \operatorname {Card} )$

또한, $G$가 $\operatorname {Col} (\lambda ,\kappa )^{M}$의 포괄적 순서 아이디얼이라고 하자. 그렇다면, 강제법 모형 $M[G]$에서 다음이 성립한다.

$M[G]\models (\lambda ^{+}=\kappa )$

여기서 $(-)^{+}$는 바로 다음 기수를 뜻한다 ($\aleph _{\alpha }^{+}=\aleph _{\alpha +1}$). 즉, $\lambda$와 $\kappa$ 사이의 기수들이 "붕괴"한 것을 알 수 있다.

역사

아즈리엘 레비가 1963년에 도입하였다.^{:243–244, §8}

참고 문헌

• Kunen, Kenneth (1980). 《Set theory: an introduction to independence proofs》. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics (영어) 102. North-Holland. ISBN 978-0-444-86839-8. MR 597342. Zbl 0534.03026. 2016년 9월 11일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2016년 8월 12일에 확인함.