미분기하학과 이론물리학에서 남 변환(Nahm變換, 영어: Nahm transform)은 기본적으로 4차원 원환면 위에 정의된 양-밀스 순간자를 그 쌍대 원환면 위의 양-밀스 순간자 위에 대응시키는 변환이다.[1]
4차원 원환면
및 그 쌍대 원환면
이 주어졌다고 하자. 그렇다면,
의 임의의 점
에 대하여,
위의 자명한 4차원 복소수 벡터 다발
위의 평탄 접속
![{\displaystyle (\partial +\mathrm {i} B^{({\tilde {m}})})_{\mu }=\partial _{\mu }+\mathrm {i} {\tilde {m}}_{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728c0bfdd8b50a5b7bf6f9895d94cf733f6e9d2f)
을 정의할 수 있다. 마찬가지로,
의 임의의 점
에 대하여,
위의 자명한 4차원 복소수 벡터 다발
위의 평탄 접속
![{\displaystyle (\partial +\mathrm {i} {\tilde {B}}^{(m)})^{\mu }=\partial ^{\mu }+\mathrm {i} m^{\mu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c60c2796a9a8b3a0d36ed12285a5d196c3e32001)
을 정의할 수 있다.
이제, 다음이 주어졌다고 하자.
위의
차원 복소수 벡터 다발 ![{\displaystyle E\twoheadrightarrow M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c8ba12449f15e9dc975bf107b2e3fecfb978c7)
속의 접속
. 또한, 그 곡률은 반(半) 자기 쌍대이므로, 이는
양-밀스 순간자를 이룬다.
그렇다면, 남 변환은
를
위의 복소수 벡터 다발
및 그 속의 양-밀스 순간자
에 대응시킨다.
구체적으로, 각
에 대하여,
위의
차원 차원 복소수 벡터 다발
위의 접속
![{\displaystyle A\otimes 1+1\otimes B^{({\tilde {m}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0b92910712f05ee8e061cb788f39c1a6bed1259)
을 정의할 수 있다. 그렇다면, 이에 대응되는 디랙 연산자
![{\displaystyle D^{({\tilde {m}})}\colon \Gamma (E\otimes \mathrm {T} M\otimes S^{+})\to \Gamma (E\otimes \mathrm {T} M\otimes S^{-})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/257362b42c80977b1004b787f69823f846ce8704)
를 정의할 수 있다. 임의의
에 대하여 그 핵은 항상 0차원이며, 따라서 그 여핵은
위의 복소수 벡터 다발을 이룬다.
![{\displaystyle {\tilde {E}}_{\tilde {m}}=\operatorname {coker} D^{({\tilde {m}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cda64e75e3850ced424d2368b97dfc2f9549e8b4)
복소수 힐베르트 공간
를 올로 하는 자명한 힐베르트 다발
을 생각하자. 그렇다면, 정의에 따라 자연스러운 사영 사상
![{\displaystyle q\colon {\mathcal {H}}\twoheadrightarrow {\tilde {E}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe63517769719544a556d5ea018869a1348d924)
이 존재하며, 따라서
를
의 부분 벡터 다발로 간주할 수 있다.
![{\displaystyle {\tilde {E}}\cong (\ker q)^{\perp }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f380542d766b264eb6c3ad55aa32da39ca333102)
이에 따라서, 자명 벡터 다발
위의 자명한 접속으로부터
위의 자명한 접속을 유도할 수 있다. 이를
로 정의한다.
남 변환은
위의, 순간자수 n의 SU(k) 양-밀스 순간자를
위의, 순간자수 k의 SU(n) 양-밀스 순간자에 대응시킨다. 이 변환은 또한 전단사 함수이며, 대합이다. 즉, 남 변환을 두 번 가하면, 원래 양-밀스 순간자를 얻는다.
남 변환은 초끈 이론으로 해석할 수 있다.[2] 구체적으로, 4차원 원환면
위에 감은
개의 D(4+p)-막을 생각하자. 그 위의 초대칭 게이지 이론 속에,
개의 양-밀스 순간자가 존재한다고 하자. 순간자는 D(4+p)-막 속에 녹은 Dp-막으로 해석할 수 있다. 이제, 4차원 원환면을 따라 T-이중성을 가하자. 그렇다면, k개의 D(4+p)-막들은 Dp-막이 되며, 반대로 n개의 Dp-막들은 D(4+p)-막이 된다. 이는 남 변환과 같다.
베르너 남(독일어: Werner Nahm)의 이름을 땄다.